Номер 18.14, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.14. На каких промежутках функция $y = 1.5 \cos \frac{3x}{2}$:

a) возрастает;

б) убывает?

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = 1,5 \cos\frac{3x}{2}$ необходимо найти её производную и проанализировать её знак.

Производная данной функции находится по правилу дифференцирования сложной функции. Пусть $u(x) = \frac{3x}{2}$, тогда $y(u) = 1,5 \cos u$.

$y' = (1,5 \cos\frac{3x}{2})' = 1,5 \cdot (-\sin\frac{3x}{2}) \cdot (\frac{3x}{2})' = -1,5 \sin\frac{3x}{2} \cdot \frac{3}{2} = -2,25 \sin\frac{3x}{2}$.

Функция возрастает на тех промежутках, где её производная $y' > 0$.

$-2,25 \sin\frac{3x}{2} > 0$

Разделим обе части неравенства на -2,25, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\sin\frac{3x}{2} < 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в III или IV координатной четверти. Общее решение этого тригонометрического неравенства:

$\pi + 2\pi n < \frac{3x}{2} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(\pi + 2\pi n) < x < \frac{2}{3}(2\pi + 2\pi n)$

$\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3} < x < \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой, концы промежутков, где производная равна нулю, можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}; \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на тех промежутках, где её производная $y' < 0$.

$-2,25 \sin\frac{3x}{2} < 0$

Разделим обе части неравенства на -2,25, изменив знак неравенства:

$\sin\frac{3x}{2} > 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в I или II координатной четверти. Общее решение этого неравенства:

$2\pi n < \frac{3x}{2} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(2\pi n) < x < \frac{2}{3}(\pi + 2\pi n)$

$\frac{4\pi n}{3} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$

Включая концы промежутков, получаем интервалы убывания.

Ответ: функция убывает на промежутках $[\frac{4\pi n}{3}; \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.