Номер 18.17, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.17. a) $y = \sin(x + |x|);$

Б) $y = \cos\frac{x - 2|x|}{2};$

В) $y = \cos(x + |x|);$

Г) $y = \sin\frac{x + 3|x|}{2}.$

Для решения данных задач необходимо раскрыть модуль $|x|$ по определению:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $y = \sin(x + |x|)$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin(x + x) = \sin(2x)$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin(x + (-x)) = \sin(0) = 0$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{при } x \ge 0 \\ 0, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = \cos\frac{x - 2|x|}{2}$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos\frac{x - 2x}{2} = \cos\frac{-x}{2}$

Так как функция косинус является четной ($\cos(-a) = \cos(a)$), получаем:

$y = \cos\frac{x}{2}$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos\frac{x - 2(-x)}{2} = \cos\frac{x + 2x}{2} = \cos\frac{3x}{2}$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \cos\frac{x}{2}, & \text{если } x \ge 0 \\ \cos\frac{3x}{2}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \cos\frac{x}{2}, & \text{при } x \ge 0 \\ \cos\frac{3x}{2}, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

в) $y = \cos(x + |x|)$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos(x + x) = \cos(2x)$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \cos(x + (-x)) = \cos(0) = 1$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \cos(2x), & \text{если } x \ge 0 \\ 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \cos(2x), & \text{при } x \ge 0 \\ 1, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

г) $y = \sin\frac{x + 3|x|}{2}$

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin\frac{x + 3x}{2} = \sin\frac{4x}{2} = \sin(2x)$

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:

$y = \sin\frac{x + 3(-x)}{2} = \sin\frac{x - 3x}{2} = \sin\frac{-2x}{2} = \sin(-x)$

Так как функция синус является нечетной ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$y = -\sin(x)$

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{при } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{при } x < 0 \end{cases}$