Номер 18.16, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.16. a) $y = \frac{1}{2} \cos 3 \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $y = -1,5 \sin \frac{2}{3} \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

а) $y = \frac{1}{2}\cos3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

Для решения задачи найдем основные свойства данной тригонометрической функции. Функцию можно представить в виде $y = A\cos(k(x-b))$.

1. Область определения:
Функция косинус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения данной функции: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений:
Значения стандартной функции $y=\cos(\alpha)$ находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) \le 1$
Умножим все части неравенства на коэффициент $A = \frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2}\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) \le \frac{1}{2} \cdot 1$
$-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$
Таким образом, область значений функции (множество всех значений y) есть отрезок $E(y) = \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.

3. Период:
Основной период функции $y=\cos x$ равен $2\pi$. Период функции вида $y = A\cos(k x + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k=3$.
$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

4. Нули функции:
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
$\frac{1}{2}\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) = 0$
$\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) = 0$
Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$3\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$3x - \pi = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$3x = \pi + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{3\pi}{2} + \pi n$
$x = \frac{1}{3}\left(\frac{3\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y)=\mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, основной период $T=\frac{2\pi}{3}$, нули функции $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -1,5\sin\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

Для решения задачи найдем основные свойства данной тригонометрической функции. Функцию можно представить в виде $y = A\sin(k(x-b))$.

1. Область определения:
Функция синус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения данной функции: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений:
Значения стандартной функции $y=\sin(\alpha)$ находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) \le 1$
Умножим все части неравенства на коэффициент $A = -1,5$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,5 \cdot 1 \le -1,5\sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) \le -1,5 \cdot (-1)$
$-1,5 \le y \le 1,5$
Таким образом, область значений функции есть отрезок $E(y) = [-1,5; 1,5]$.

3. Период:
Основной период функции $y=\sin x$ равен $2\pi$. Период функции вида $y = A\sin(k x + \phi)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k=\frac{2}{3}$.
$T = \frac{2\pi}{\left|\frac{2}{3}\right|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi$.

4. Нули функции:
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$.
$-1,5\sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) = 0$
$\sin\left(\frac{2}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right) = 0$
Раскроем скобки в аргументе: $\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}\frac{\pi}{2} = \frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$.
$\sin\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$
Это равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3} = \pi n$
$\frac{2}{3}x = \pi n - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{3}{2}\left(\pi n - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения $D(y)=\mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-1,5; 1,5]$, основной период $T=3\pi$, нули функции $x = \frac{3\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.