Номер 19.5, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.5. Подберите коэффициенты a, b и c так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $y = a \sin (bx + c)$:

а) рис. 60;

2, -2

$-\frac{\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{12}$, $\frac{11\pi}{12}$

Рис. 60

б) рис. 61.

1.5, -1.5

$-\frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$

Рис. 61

Общий вид функции: $y = a \sin(bx + c)$.

Коэффициент $a$ отвечает за амплитуду (максимальное отклонение от оси $x$).

Коэффициент $b$ влияет на период функции $T$, который вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|b|}$.

Коэффициент $c$ отвечает за фазовый (горизонтальный) сдвиг графика. Сдвиг равен $-\frac{c}{b}$.

1. Найдем амплитуду $a$. Из графика видно, что максимальное значение функции $y_{max} = 2$, а минимальное $y_{min} = -2$. Амплитуда равна максимальному значению, поэтому $|a| = 2$. Будем считать, что $a=2$.

2. Найдем период $T$ и коэффициент $b$. На графике отмечены точки максимума $x_{max} = \frac{5\pi}{12}$ и следующего за ним минимума $x_{min} = \frac{11\pi}{12}$. Расстояние между ними равно половине периода ($T/2$). $T/2 = x_{min} - x_{max} = \frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, полный период $T = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$. Теперь найдем $b$ из формулы периода: $T = \frac{2\pi}{|b|}$. $\pi = \frac{2\pi}{|b|}$, откуда $|b|=2$. Будем считать, что $b=2$.

3. Найдем фазовый сдвиг $c$. Наша функция имеет вид $y = 2\sin(2x + c)$. Для нахождения $c$ подставим координаты точки максимума $(\frac{5\pi}{12}, 2)$ в уравнение. $2 = 2\sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12} + c)$. $1 = \sin(\frac{5\pi}{6} + c)$. Синус равен 1, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. $\frac{5\pi}{6} + c = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. $c = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$. Выберем простейшее значение при $k=0$: $c = -\frac{\pi}{3}$.

Итоговая функция: $y = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $a = 2, b = 2, c = -\frac{\pi}{3}$.

1. Найдем амплитуду $a$. Из графика видно, что максимальное значение функции $y_{max} = 1,5$, а минимальное $y_{min} = -1,5$. Амплитуда $|a| = 1,5$. Будем считать, что $a=1,5$.

2. Найдем период $T$ и коэффициент $b$. На графике видно, что функция пересекает ось $x$ в точках $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{2}$, и между этими точками находится один минимум. Это расстояние равно половине периода ($T/2$). $T/2 = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$. Следовательно, полный период $T = 2 \cdot 2\pi = 4\pi$. Теперь найдем $b$: $T = \frac{2\pi}{|b|}$. $4\pi = \frac{2\pi}{|b|}$, откуда $|b|=\frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$. Будем считать, что $b=0,5$.

3. Найдем фазовый сдвиг $c$. Функция имеет вид $y = 1,5\sin(0,5x + c)$. Для нахождения $c$ подставим координаты точки $(\frac{\pi}{2}, 0)$ в уравнение. В этой точке график пересекает ось $x$, убывая. $0 = 1,5\sin(0,5 \cdot \frac{\pi}{2} + c)$. $0 = \sin(\frac{\pi}{4} + c)$. Синус равен 0, когда его аргумент равен $\pi k$, где $k$ — целое число. Так как функция после этой точки убывает (как $\sin(x)$ после точки $x=\pi$), то аргумент должен быть равен $\pi + 2\pi k$ или $-\pi + 2\pi k$, и т.д. Возьмем простейший случай: $\frac{\pi}{4} + c = \pi$. $c = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Проверим с точкой минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1,5)$. Аргумент синуса в точке минимума должен быть равен $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. $0,5x+c = 0,5 \cdot \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует минимуму.

Итоговая функция: $y = 1,5\sin(0,5x + \frac{3\pi}{4})$.
Ответ: $a = 1,5; b = 0,5; c = \frac{3\pi}{4}$.