Номер 19.2, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

19.2. a) $y = -2 \cos 2 \left( x + \frac{\pi}{3} \right);$

б) $y = -2 \sin 3 \left( x + \frac{\pi}{2} \right).$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \cos x$. Общий вид функции: $y = A \cos(k(x + b))$, где амплитуда равна $|A|$, период $T = \frac{2\pi}{|k|}$, а фазовый сдвиг равен $-b$.

В нашем случае $A = -2$, $k = 2$, $b = \frac{\pi}{3}$.

Последовательность преобразований:

1. Начнем с графика функции $y = \cos x$.
2. Сжимаем график по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза, так как $k=2$. Получаем график функции $y = \cos(2x)$. Период этой функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
3. Сдвигаем полученный график влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, так как $b=\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y = \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.
4. Растягиваем график от оси Ox по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза, так как $|A|=2$. Получаем график функции $y = 2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений от -2 до 2.
5. Так как $A = -2$ (отрицательное значение), зеркально отражаем полученный график относительно оси Ox. Это дает нам искомый график функции $y = -2 \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Определим основные свойства функции и найдем координаты ключевых точек для построения одного периода.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-2; 2]$.
• Период: $T = \pi$.
• Фазовый сдвиг: на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Найдем точки одного периода. Из-за сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$ и отражения, новый "начальный" минимум цикла будет в точке $x = -\frac{\pi}{3}$.

• При $x = -\frac{\pi}{3}$, $y = -2\cos\left(2\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right) = -2\cos(0) = -2$. Это точка минимума.
• Точка максимума находится на половине периода от минимума: $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{T}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi+3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Значение функции в этой точке: $y = -2\cos\left(2\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right) = -2\cos(\pi) = 2$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся на четверти периода от экстремумов:
  • $x_1 = -\frac{\pi}{3} + \frac{T}{4} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{-4\pi+3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
  • $x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{T}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi+3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.
• Следующий минимум будет в конце периода: $x = -\frac{\pi}{3} + T = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, для построения графика на одном периоде от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$ используются ключевые точки: $(-\frac{\pi}{3}, -2)$, $(-\frac{\pi}{12}, 0)$, $(\frac{\pi}{6}, 2)$, $(\frac{5\pi}{12}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, -2)$. Далее этот фрагмент графика периодически повторяется с периодом $\pi$.

Ответ: График функции $y = -2 \cos 2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза (период становится $\pi$), сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$, растяжения по оси Oy в 2 раза (амплитуда 2) и отражения относительно оси Ox. Ключевые точки одного периода: минимум $(-\frac{\pi}{3}, -2)$, максимум $(\frac{\pi}{6}, 2)$, нули в точках $x = -\frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{5\pi}{12}$.

Для построения графика этой функции наиболее рационально сначала упростить ее выражение с помощью формул приведения.

Раскроем скобки в аргументе синуса: $y = -2 \sin\left(3x + \frac{3\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 3x$.

Подставив в исходную функцию, получаем:

$y = -2(-\cos(3x)) = 2\cos(3x)$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 2\cos(3x)$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ с помощью двух преобразований:

1. Сжатие графика по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$.
2. Растяжение графика по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной 2.

Определим основные свойства функции и ключевые точки:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-2; 2]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{3}$.
• Функция является четной, так как $y(x) = 2\cos(3x)$ и $y(-x) = 2\cos(-3x) = 2\cos(3x) = y(x)$.

Найдем точки одного периода, начиная с $x=0$:

• При $x = 0$, $y = 2\cos(0) = 2$. Это точка максимума.
• Точка минимума находится на половине периода: $x = \frac{T}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$. Значение функции: $y = 2\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\pi) = -2$.
• Нули функции находятся на четверти и трех четвертях периода:
  • $x_1 = \frac{T}{4} = \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6}$.
  • $x_2 = \frac{3T}{4} = \frac{3 \cdot (2\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{2}$.
• Следующий максимум будет в конце периода: $x = T = \frac{2\pi}{3}$.

Ключевые точки для построения одного периода: $(0, 2)$, $(\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, -2)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, 2)$.

Ответ: График функции $y = -2 \sin 3\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ после упрощения совпадает с графиком функции $y = 2\cos(3x)$. Он получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия по оси Ox в 3 раза (период становится $\frac{2\pi}{3}$) и растяжения по оси Oy в 2 раза (амплитуда 2). Ключевые точки одного периода: максимум $(0, 2)$, минимум $(\frac{\pi}{3}, -2)$, нули в точках $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.