Номер 19.3, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.3. а) $y = 2 \sin \left(3x - \frac{3\pi}{4}\right);$

б) $y = -3 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = 2\sin\left(3x - \frac{3\pi}{4}\right)$

Для анализа этой тригонометрической функции её необходимо привести к стандартному виду $y = A\sin(k(x - b)) + C$, где:

• $|A|$ — амплитуда (максимальное отклонение от среднего значения),
• $T = \frac{2\pi}{|k|}$ — период функции,
• $b$ — сдвиг по фазе (горизонтальный сдвиг графика),
• $C$ — вертикальный сдвиг графика.

Преобразуем данное уравнение. Для этого вынесем коэффициент при $x$ (то есть 3) за скобки внутри аргумента синуса:

$y = 2\sin\left(3x - \frac{3\pi}{4}\right) = 2\sin\left(3\left(x - \frac{3\pi}{4 \cdot 3}\right)\right) = 2\sin\left(3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Теперь мы можем определить все параметры функции, сравнивая полученное уравнение с $y = A\sin(k(x - b)) + C$.

1. Амплитуда: Коэффициент $A = 2$. Амплитуда равна $|A| = |2| = 2$. Это означает, что график функции растянут в 2 раза по вертикали (вдоль оси OY) по сравнению с графиком $y = \sin(x)$.

2. Период: Коэффициент $k = 3$. Стандартный период функции синус равен $2\pi$. Период данной функции вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, таким образом $T = \frac{2\pi}{3}$. Это означает, что график сжат в 3 раза по горизонтали (вдоль оси OX).

3. Сдвиг по фазе (горизонтальный сдвиг): В выражении $(x - \frac{\pi}{4})$ параметр $b = \frac{\pi}{4}$. Так как $b > 0$, это соответствует сдвигу графика функции $y = 2\sin(3x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси OX.

4. Вертикальный сдвиг: Параметр $C = 0$, следовательно, вертикального сдвига нет.

5. Область значений: Поскольку функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$, то для нашей функции имеем:$-1 \le \sin\left(3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \le 1$.Умножая все части неравенства на 2, получаем:$-2 \le 2\sin\left(3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \le 2$.Следовательно, область значений функции $E(y) = [-2, 2]$.

Ответ: Период $T = \frac{2\pi}{3}$, амплитуда равна 2, сдвиг по фазе на $\frac{\pi}{4}$ вправо, область значений $E(y) = [-2, 2]$.

б) $y = -3\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$

Аналогично предыдущему пункту, приведем функцию к стандартному виду $y = A\cos(k(x - b)) + C$.

Вынесем коэффициент при $x$ (то есть 2) за скобки внутри аргумента косинуса:

$y = -3\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = -3\cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = -3\cos\left(2\left(x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)$

Определим параметры функции:

1. Амплитуда: Коэффициент $A = -3$. Амплитуда равна $|A| = |-3| = 3$. Знак "минус" перед коэффициентом 3 означает, что график функции отражен симметрично относительно оси OX по сравнению с графиком $y = 3\cos(...)$.

2. Период: Коэффициент $k = 2$. Стандартный период функции косинус равен $2\pi$. Период данной функции $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. График сжат в 2 раза по горизонтали.

3. Сдвиг по фазе (горизонтальный сдвиг): В выражении $(x - (-\frac{\pi}{6}))$ параметр $b = -\frac{\pi}{6}$. Так как $b < 0$, это соответствует сдвигу графика функции $y = -3\cos(2x)$ на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси OX.

4. Вертикальный сдвиг: Параметр $C = 0$, вертикального сдвига нет.

5. Область значений: Функция косинус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$:$-1 \le \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) \le 1$.Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:$(-3) \cdot (-1) \ge -3\cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) \ge (-3) \cdot 1$$3 \ge y \ge -3$.Таким образом, область значений функции $E(y) = [-3, 3]$.

Ответ: Период $T = \pi$, амплитуда равна 3, сдвиг по фазе на $\frac{\pi}{6}$ влево, график отражен относительно оси ОХ, область значений $E(y) = [-3, 3]$.