Номер 19.7, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.7. На каких промежутках функция $y = -1.5 \sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$:

а) возрастает;

б) убывает?

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = -1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$, необходимо найти ее производную и определить знаки этой производной.

Находим производную $y'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = \left(-1,5 \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)'$

$y' = -1,5 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} = -0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

а) возрастает;

Функция возрастает, когда ее производная $y'(x) \ge 0$.

$-0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-0,75$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \le 0$

Это неравенство справедливо, когда аргумент косинуса находится во второй или третьей координатной четверти. Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим это неравенство относительно $x$. Сначала прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{6\pi + \pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь умножим все части на 2:

$\frac{3\pi}{2} + 4\pi n \le x \le \frac{7\pi}{2} + 4\pi n$

Ответ: $[\frac{3\pi}{2} + 4\pi n; \frac{7\pi}{2} + 4\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) убывает?

Функция убывает, когда ее производная $y'(x) \le 0$.

$-0,75 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \le 0$

Разделим обе части неравенства на $-0,75$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Это неравенство справедливо, когда аргумент косинуса находится в первой или четвертой координатной четверти. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим это неравенство относительно $x$. Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{-2\pi + \pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь умножим все части на 2:

$-\frac{\pi}{2} + 4\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2} + 4\pi n$

Ответ: $[-\frac{\pi}{2} + 4\pi n; \frac{3\pi}{2} + 4\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.