Номер 20.1, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \operatorname{tg} x$ на заданном промежутке:

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2});$

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi];$

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}];$

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2}).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \tg x$ на заданных промежутках воспользуемся её свойствами. Функция $y = \tg x$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения, имеющих вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — целое число. Это означает, что на таких интервалах большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

а) на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Данный интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ является одним из интервалов, на котором функция $y = \tg x$ непрерывна и строго возрастает. На границах этого интервала находятся вертикальные асимптоты. При приближении аргумента $x$ к $\frac{\pi}{2}$ справа, значения функции стремятся к $-\infty$, то есть $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tg x = -\infty$. При приближении $x$ к $\frac{3\pi}{2}$ слева, значения функции стремятся к $+\infty$, то есть $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \tg x = +\infty$. Поскольку интервал открытый, а функция на нем не ограничена ни снизу, ни сверху, она не достигает своих наименьшего и наибольшего значений.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

б) на полуинтервале $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$

Данный полуинтервал $(\frac{3\pi}{4}; \pi]$ является частью интервала $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ строго возрастает. В силу возрастания, наибольшее значение функция принимает в самой правой точке промежутка, которая включена в него. Это точка $x = \pi$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \tg(\pi) = 0$.
Наименьшее значение функция должна была бы принять в самой левой точке $x = \frac{3\pi}{4}$, но эта точка не включена в промежуток. Значения функции на данном полуинтервале строго больше, чем $\tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Следовательно, наименьшее значение не достигается.

Ответ: наименьшее значение не существует, наибольшее значение равно $0$.

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$

Отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6}]$ является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ строго возрастает. Так как функция непрерывна на замкнутом отрезке, она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. В силу возрастания, наименьшее значение достигается в левой граничной точке, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \tg(-\frac{\pi}{4}) = - \tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: наименьшее значение равно $-1$, наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на полуинтервале $[\pi; \frac{3\pi}{2})$

Данный полуинтервал $[\pi; \frac{3\pi}{2})$ является частью интервала $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ строго возрастает. В силу возрастания, наименьшее значение функция принимает в самой левой точке промежутка, которая включена в него. Это точка $x = \pi$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \tg(\pi) = 0$.
Правая граница $x = \frac{3\pi}{2}$ не включена в промежуток, и в этой точке находится вертикальная асимптота. При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$, значение $y = \tg x \to +\infty$. Таким образом, функция не ограничена сверху на данном промежутке, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $0$, наибольшего значения не существует.