Номер 20.6, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.6. Определите знак разности:

а) $tg 200^{\circ} - tg 201^{\circ}$;

б) $tg 1 - tg 1,01$;

в) $tg 2,2 - tg 2,1$;

г) $tg \frac{3\pi}{5} - tg \frac{6\pi}{5}$.

а) Для определения знака разности $\tg 200^\circ - \tg 201^\circ$ воспользуемся свойством монотонности функции тангенса. Функция $y = \tg x$ является периодической с периодом $180^\circ$ и возрастает на каждом из интервалов вида $( -90^\circ + 180^\circ k, 90^\circ + 180^\circ k )$, где $k$ — целое число. Рассмотрим интервал при $k=1$: $( 90^\circ, 270^\circ )$. Оба угла, $200^\circ$ и $201^\circ$, принадлежат этому интервалу, так как $90^\circ < 200^\circ < 201^\circ < 270^\circ$. Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на данном интервале и $200^\circ < 201^\circ$, то справедливо неравенство $\tg 200^\circ < \tg 201^\circ$. Следовательно, разность $\tg 200^\circ - \tg 201^\circ$ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).

б) Рассмотрим разность $\tg 1 - \tg 1,01$. Аргументы функции тангенса здесь даны в радианах. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Функция возрастает на каждом интервале определения. Один из таких интервалов — $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Оба аргумента, 1 и 1,01, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, так как $-1,57 < 1 < 1,01 < 1,57$. Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на этом интервале и $1 < 1,01$, то $\tg 1 < \tg 1,01$. Таким образом, разность $\tg 1 - \tg 1,01$ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).

в) Рассмотрим разность $\tg 2,2 - \tg 2,1$. Аргументы даны в радианах. Найдем интервал монотонности, содержащий оба аргумента. Рассмотрим интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Используя приближенные значения $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, видим, что оба аргумента, 2,1 и 2,2, принадлежат этому интервалу, так как $1,57 < 2,1 < 2,2 < 4,71$. Функция $y = \tg x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Так как $2,1 < 2,2$, из свойства возрастающей функции следует, что $\tg 2,1 < \tg 2,2$. Следовательно, разность $\tg 2,2 - \tg 2,1$ положительна.
Ответ: знак плюс (положительный).

г) Рассмотрим разность $\tg \frac{3\pi}{5} - \tg \frac{6\pi}{5}$. Определим, к какому интервалу возрастания функции тангенса принадлежат аргументы. Рассмотрим интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Сравним аргументы с границами интервала: $\frac{\pi}{2} = \frac{2,5\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{7,5\pi}{5}$. Первый аргумент: $\frac{3\pi}{5}$. Очевидно, что $\frac{2,5\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \frac{7,5\pi}{5}$, значит $\frac{3\pi}{5} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Второй аргумент: $\frac{6\pi}{5}$. Очевидно, что $\frac{2,5\pi}{5} < \frac{6\pi}{5} < \frac{7,5\pi}{5}$, значит $\frac{6\pi}{5} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Оба аргумента находятся в одном и том же интервале возрастания функции $y = \tg x$. Сравним аргументы между собой: $\frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5}$. Поскольку функция $y = \tg x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, то $\tg \frac{3\pi}{5} < \tg \frac{6\pi}{5}$. Следовательно, разность $\tg \frac{3\pi}{5} - \tg \frac{6\pi}{5}$ отрицательна.
Ответ: знак минус (отрицательный).