Номер 20.10, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.10. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$ на заданном промежутке:

а) на отрезке $[\text{--}\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$;

б) на полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$;

в) на интервале $(-\pi; 0)$;

г) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \text{ctg} \, x$ на заданных промежутках воспользуемся свойством ее монотонности. Функция котангенса является убывающей на всей своей области определения, то есть на каждом из интервалов вида $(k\pi, (k+1)\pi)$, где $k$ — любое целое число. Это следует из того, что ее производная $y' = (\text{ctg} \, x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда отрицательна.

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$

Отрезок $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} \, x$ непрерывна и монотонно убывает. На отрезке убывающая функция достигает своего наибольшего значения в начальной точке (на левом конце) и наименьшего значения в конечной точке (на правом конце).

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$

На полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$, который также лежит внутри интервала $(0, \pi)$, функция $y = \text{ctg} \, x$ непрерывна и убывает. Наибольшее значение достигается в левой точке $x = \frac{\pi}{2}$, так как эта точка принадлежит промежутку.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Правая граница $x = \pi$ не входит в данный полуинтервал. При приближении $x$ к $\pi$ слева, значение котангенса стремится к минус бесконечности:

$\lim_{x \to \pi^-} \text{ctg} \, x = \lim_{x \to \pi^-} \frac{\cos x}{\sin x} = -\infty$ (поскольку $\cos x \to -1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь положительным).

Так как функция не ограничена снизу, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.

в) на интервале $(-\pi; 0)$

На интервале $(-\pi; 0)$ функция $y = \text{ctg} \, x$ также непрерывна и монотонно убывает. Поскольку интервал открытый, функция не достигает значений на его концах. Исследуем поведение функции на границах интервала.

При $x$, стремящемся к $-\pi$ справа: $\lim_{x \to -\pi^+} \text{ctg} \, x = +\infty$.

При $x$, стремящемся к $0$ слева: $\lim_{x \to 0^-} \text{ctg} \, x = -\infty$.

Функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Следовательно, на данном интервале функция не ограничена ни сверху, ни снизу, и у нее нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: ни наибольшего, ни наименьшего значений функции не существует.

г) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$

Отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$ является частью интервала $(0, \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} \, x$ непрерывна и монотонно убывает. Как и в пункте а), наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно $\sqrt{3}$.