Номер 20.14, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.14. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на чётность, если:

а) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$;

б) $f(x) = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3}$;

в) $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$;

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x - x \cos x$.

а) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x$
1. Найдем область определения функции $D(f)$. Функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена при условии $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.
3. Используем свойства тригонометрических функций: синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), котангенс — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$).
$f(-x) = -\sin x - \operatorname{ctg} x = -(\sin x + \operatorname{ctg} x) = -f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3}$
1. Область определения функции $D(f)$ определяется условиями: $x^3 \neq 0$ (знаменатель не равен нулю), то есть $x \neq 0$, и $\operatorname{ctg} x$ должен быть определен, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Объединяя эти условия, получаем $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{2 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^3}$.
3. Используем свойства функций: $\operatorname{ctg} x$ — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), а $x^3$ — нечетная степенная функция ($(-x)^3 = -x^3$).
$f(-x) = \frac{2(-\operatorname{ctg} x)}{-x^3} = \frac{-2 \operatorname{ctg} x}{-x^3} = \frac{2 \operatorname{ctg} x}{x^3} = f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

в) $f(x) = \frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4}$
1. Область определения функции $D(f)$ определяется условиями: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$, и $\operatorname{ctg} x$ должен быть определен, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pm 2 \text{ и } x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^4 \operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 - 4}$.
3. Используем свойства функций: $x^4$ — четная функция ($(-x)^4 = x^4$), $\operatorname{ctg} x$ — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), $x^2 - 4$ — четная функция ($(-x)^2 - 4 = x^2 - 4$).
$f(-x) = \frac{x^4 (-\operatorname{ctg} x)}{x^2 - 4} = -\frac{x^4 \operatorname{ctg} x}{x^2 - 4} = -f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

г) $f(x) = \operatorname{ctg} x - x \cos x$
1. Область определения функции $D(f)$ определяется условием существования $\operatorname{ctg} x$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $x \cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \operatorname{ctg}(-x) - (-x)\cos(-x)$.
3. Используем свойства тригонометрических функций: $\operatorname{ctg} x$ — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), $\cos x$ — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$).
$f(-x) = -\operatorname{ctg} x - (-x)(\cos x) = -\operatorname{ctg} x + x \cos x = -(\operatorname{ctg} x - x \cos x) = -f(x)$.
4. Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.