Номер 20.18, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

20.18. а) $y = \text{ctg} \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $y = \text{ctg} x + 1$;

в) $y = \text{ctg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y = \text{ctg} x - 2$.

а) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x + a)$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $a = \frac{\pi}{2}$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $a$ единиц влево, так как $a > 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{2}$ влево.

При этом:

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{ctg} x$, имеющие вид $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются влево на $\frac{\pi}{2}$ и становятся $x = k\pi - \frac{\pi}{2}$.
• Нули функции, находившиеся в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + k\pi - \frac{\pi}{2} = k\pi$.

Также можно использовать формулу приведения: $\operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{tg} x$. Это означает, что искомый график является графиком функции $y = \operatorname{tg} x$, отраженным симметрично относительно оси Ox.
Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(x + \frac{\pi}{2})$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц влево вдоль оси Ox.

б) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x) + b$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $b = 1$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси ординат (оси Oy) на $b$ единиц вверх, так как $b > 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 1 единицу вверх.

При этом:

• Вертикальные асимптоты $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$ не изменяются.
• Каждая точка графика смещается на 1 единицу вверх. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, 1)$, а точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, 2)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

в) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x - a)$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $a = \frac{\pi}{3}$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $a$ единиц вправо, так как $a > 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

При этом:

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{ctg} x$, имеющие вид $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются вправо на $\frac{\pi}{3}$ и становятся $x = k\pi + \frac{\pi}{3}$.
• Нули функции, находившиеся в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$, смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + k\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k\pi$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(x - \frac{\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси Ox.

г) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg} x - 2$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Данное преобразование имеет вид $y = f(x) + b$, где $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $b = -2$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ вдоль оси ординат (оси Oy) на $|b|$ единиц вниз, так как $b < 0$.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x - 2$, необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 2 единицы вниз.

При этом:

• Вертикальные асимптоты $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$ не изменяются.
• Каждая точка графика смещается на 2 единицы вниз. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{2}, -2)$, а точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.