Номер 20.19, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.19. a) $y = 2 \operatorname{tg} x;$

б) $y = -0,5 \operatorname{ctg} x;$

В) $y = \operatorname{tg} 2x;$

Г) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}.$

а) $y = 2 \tg x$

Данная функция является преобразованием основной функции тангенса $y = \tg x$. График функции $y = 2 \tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$. $D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Растяжение по оси Y не меняет область значений тангенса. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = A \tg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $A=2, k=1$, поэтому период не изменяется. $T = \pi$.
• Нули функции: $y = 0$ при $2 \tg x = 0$, то есть $\tg x = 0$. $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = 2 \tg(-x) = -2 \tg x = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=\pi$. Нули функции: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, возрастающая. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -0,5 \ctg x$

Данная функция является преобразованием основной функции котангенса $y = \ctg x$. График функции $y = -0,5 \ctg x$ получается из графика $y = \ctg x$ путем сжатия вдоль оси ординат в 2 раза (коэффициент 0,5) и последующего зеркального отражения относительно оси абсцисс (оси OX) из-за знака минус.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin x = 0$. $D(y): x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Преобразования не меняют область значений котангенса. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = A \ctg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $A=-0,5, k=1$, поэтому период не изменяется. $T = \pi$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-0,5 \ctg x = 0$, то есть $\ctg x = 0$. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = -0,5 \ctg(-x) = -0,5(-\ctg x) = 0,5 \ctg x = -y(x)$ (ошибка в рассуждении, $y(-x) = -0.5(-\ctg x) = 0.5 \ctg x$. А $-y(x) = -(-0.5 \ctg x) = 0.5 \ctg x$. Значит $y(-x)=-y(x)$ верно). Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция $y = \ctg x$ является убывающей. Из-за умножения на отрицательный коэффициент (-0,5) функция $y = -0,5 \ctg x$ становится возрастающей на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=\pi$. Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, возрастающая. Вертикальные асимптоты: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \tg 2x$

Данная функция является преобразованием основной функции тангенса $y = \tg x$. График функции $y = \tg 2x$ получается из графика $y = \tg x$ путем сжатия вдоль оси абсцисс (оси OX) в 2 раза.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена, когда аргумент тангенса $2x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$. $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Сжатие по оси OX не меняет область значений. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = \tg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=2$. $T = \frac{\pi}{2}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\tg 2x = 0$, то есть $2x = \pi n$. $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = \tg(2(-x)) = \tg(-2x) = -\tg(2x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция возрастает на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=\frac{\pi}{2}$. Нули функции: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, возрастающая. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \ctg \frac{x}{2}$

Данная функция является преобразованием основной функции котангенса $y = \ctg x$. График функции $y = \ctg \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (оси OX) в 2 раза.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция определена, когда аргумент котангенса $\frac{x}{2}$ не равен $\pi n$. $\frac{x}{2} \neq \pi n \Rightarrow x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Растяжение по оси OX не меняет область значений. $E(y): (-\infty; +\infty)$.
• Период: Период функции $y = \ctg(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае $k=\frac{1}{2}$. $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\ctg \frac{x}{2} = 0$, то есть $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = \ctg\left(\frac{-x}{2}\right) = \ctg\left(-\frac{x}{2}\right) = -\ctg\left(\frac{x}{2}\right) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на всей области определения.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты — прямые $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $T=2\pi$. Нули функции: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Функция нечетная, убывающая. Вертикальные асимптоты: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.