Номер 20.22, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{tg} x + |\operatorname{tg} x|$. Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $\operatorname{tg} x \geq 0$, то по определению модуля $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$.
Неравенство $\operatorname{tg} x \geq 0$ выполняется для углов $x$ в первой и третьей координатных четвертях, то есть при $x \in [k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае функция принимает вид:
$y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$.

2. Если $\operatorname{tg} x < 0$, то по определению модуля $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$.
Неравенство $\operatorname{tg} x < 0$ выполняется для углов $x$ во второй и четвертой координатных четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае функция принимает вид:
$y = \operatorname{tg} x + (-\operatorname{tg} x) = 0$.

Объединяя оба случая, мы можем представить исходную функцию в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 2\operatorname{tg} x, & \text{если } x \in [k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) \\ 0, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим функцию $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x$. Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $\operatorname{ctg} x \geq 0$, то по определению модуля $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$.
Неравенство $\operatorname{ctg} x \geq 0$ выполняется для углов $x$ в первой и третьей координатных четвертях, то есть при $x \in (k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае функция принимает вид:
$y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.

2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то по определению модуля $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$.
Неравенство $\operatorname{ctg} x < 0$ выполняется для углов $x$ во второй и четвертой координатных четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае функция принимает вид:
$y = -\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = -2\operatorname{ctg} x$.

Объединяя оба случая, мы можем представить исходную функцию в кусочно-заданном виде.

Ответ: $y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in (k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi] \\ -2\operatorname{ctg} x, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + k\pi, (k+1)\pi) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.