Номер 20.15, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.15. Найдите основной период функции:

a) $y = \tan x + \sin 2x - \tan 3x - \cos 4x;$

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \cot x - 2 \tan 2x.$

а) $y = \operatorname{tg} x + \sin 2x - \operatorname{tg} 3x - \cos 4x$

Чтобы найти основной период функции, которая является суммой или разностью нескольких периодических функций, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) основных периодов каждой из этих функций.

Сначала определим основной период для каждого слагаемого в выражении:

• Основной период функции $y_1 = \operatorname{tg} x$ (с коэффициентом $k=1$) равен $T_1 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
• Основной период функции $y_2 = \sin 2x$ (с коэффициентом $k=2$) равен $T_2 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
• Основной период функции $y_3 = \operatorname{tg} 3x$ (с коэффициентом $k=3$) равен $T_3 = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.
• Основной период функции $y_4 = \cos 4x$ (с коэффициентом $k=4$) равен $T_4 = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь нам нужно найти наименьшее общее кратное этих периодов: $T = \text{НОК}(\pi, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.

Для нахождения НОК чисел, являющихся рациональными множителями $\pi$, можно найти НОК их коэффициентов, а затем умножить результат на $\pi$. Ищем $\text{НОК}(1, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

Для нахождения НОК дробей $\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots$ используется формула: $\text{НОК} = \frac{\text{НОК}(a_1, a_2, \dots)}{\text{НОД}(b_1, b_2, \dots)}$, где НОД — наибольший общий делитель.

В нашем случае коэффициенты это дроби $\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$.

Находим НОК числителей: $\text{НОК}(1, 1, 1, 1) = 1$.

Находим НОД знаменателей: $\text{НОД}(1, 1, 3, 2) = 1$.

Тогда НОК коэффициентов равно $\frac{1}{1} = 1$.

Следовательно, основной период всей функции равен $T = 1 \cdot \pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) $y = \sin 3x + \cos 5x + \operatorname{ctg} x - 2 \operatorname{tg} 2x$

Действуем аналогично предыдущему пункту: находим периоды каждого слагаемого и затем их наименьшее общее кратное.

Основные периоды слагаемых:

• Для функции $y_1 = \sin 3x$ (с коэффициентом $k=3$) основной период $T_1 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.
• Для функции $y_2 = \cos 5x$ (с коэффициентом $k=5$) основной период $T_2 = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$.
• Для функции $y_3 = \operatorname{ctg} x$ (с коэффициентом $k=1$) основной период $T_3 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.
• Для функции $y_4 = -2\operatorname{tg} 2x$ (с коэффициентом $k=2$, множитель -2 не влияет на период) основной период $T_4 = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов: $T = \text{НОК}(\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{5}, \pi, \frac{\pi}{2})$.

Находим НОК коэффициентов при $\pi$: $\text{НОК}(\frac{2}{3}, \frac{2}{5}, 1, \frac{1}{2})$.

Представим коэффициенты в виде дробей: $\frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}$.

Используем формулу для НОК дробей: $\text{НОК} = \frac{\text{НОК}(\text{числителей})}{\text{НОД}(\text{знаменателей})}$.

Находим НОК числителей: $\text{НОК}(2, 2, 1, 1) = 2$.

Находим НОД знаменателей: $\text{НОД}(3, 5, 1, 2) = 1$.

Тогда НОК коэффициентов равно $\frac{2}{1} = 2$.

Следовательно, основной период всей функции равен $T = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.