Номер 20.9, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.9. a) $y = -\operatorname{tg} x;$

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1;$

В) $y = -\operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{2}\right);$

Г) $y = -\operatorname{tg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.$

а) $y = -\tg x$

График функции $y = -\tg x$ получается из графика базовой функции $y = \tg x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

Основные свойства функции:

1. Область определения: Все действительные числа, кроме точек, где тангенс не определен. $D(y) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $y=0$ при $-\tg x = 0$, то есть $\tg x = 0$. Это выполняется при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: В отличие от функции $y = \tg x$, которая возрастает на каждом интервале области определения, функция $y = -\tg x$ является убывающей на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = -\tg x$ получается из графика $y = \tg x$ отражением относительно оси Ox. Функция убывает на всей области определения, имеет период $\pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и нули при $x = \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

б) $y = -\tg x + 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = -\tg x$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (оси Oy) на 1 единицу вверх.

Таким образом, для построения графика функции $y = -\tg x + 1$ нужно выполнить следующую последовательность преобразований над графиком $y = \tg x$:

1. Симметрично отразить график $y = \tg x$ относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -\tg x$.

2. Сдвинуть полученный график $y = -\tg x$ на 1 единицу вверх по оси Oy.

Основные свойства функции:

1. Область определения: Не изменяется по сравнению с $y = \tg x$. $D(y) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений: Не изменяется, $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Период остается прежним, $T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты не изменяются при вертикальном сдвиге. Они остаются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$. Решаем уравнение $-\tg x + 1 = 0$, откуда $\tg x = 1$. Это выполняется при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: Функция, как и $y = -\tg x$, является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: График функции $y = -\tg x + 1$ получается из графика $y = \tg x$ отражением относительно оси Ox и последующим сдвигом на 1 единицу вверх. Функция убывает на всей области определения, имеет период $\pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

в) $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$

Для анализа этой функции можно использовать формулу приведения для тангенса: $\tg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\ctg(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.

Тогда $y = -(-\ctg x) = \ctg x$. Таким образом, график данной функции полностью совпадает с графиком функции котангенса $y = \ctg x$.

Альтернативно, можно получить этот график с помощью преобразований графика $y = \tg x$:

1. Сдвинуть график $y = \tg x$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{2}$ единиц, чтобы получить график $y = \tg(x - \frac{\pi}{2})$.

2. Симметрично отразить полученный график относительно оси Ox, чтобы получить $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$.

Основные свойства функции (совпадают со свойствами $y = \ctg x$):

1. Область определения: $y=\ctg x$ не определен, когда $\sin x = 0$. Это происходит при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $D(y) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Период функции равен $\pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $y=0$ при $\ctg x = 0$. Это происходит, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: Функция $y = \ctg x$ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $( \pi k; \pi(k+1) )$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Данная функция тождественно равна $y = \ctg x$. Её график - это стандартный график котангенса. Он может быть получен из графика $y = \tg x$ сдвигом на $\frac{\pi}{2}$ вправо и отражением относительно оси Ox. Функция убывает на всей области определения, имеет период $\pi$, асимптоты $x = \pi k$ и нули при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

г) $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

График этой функции получается из графика $y = \tg x$ с помощью последовательности из трех преобразований:

1. Отражение: Сначала строим график $y = -\tg x$, отражая $y = \tg x$ относительно оси Ox.

2. Горизонтальный сдвиг: Затем сдвигаем график $y = -\tg x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц. Получаем график функции $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3})$.

3. Вертикальный сдвиг: Наконец, сдвигаем полученный график вниз вдоль оси Oy на 2 единицы. Получаем итоговый график $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2$.

Основные свойства функции:

1. Область определения: Функция не определена, когда аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. $x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Период остается неизменным, $T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$. $-\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2 = 0 \implies \tg(x + \frac{\pi}{3}) = -2$. $x + \frac{\pi}{3} = \arctan(-2) + \pi k$. $x = -\frac{\pi}{3} + \arctan(-2) + \pi k$. Используя свойство $\arctan(-z) = -\arctan(z)$, получаем: $x = -\frac{\pi}{3} - \arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: Функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{5\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \tg x$ последовательным отражением относительно оси Ox, сдвигом влево на $\frac{\pi}{3}$ и сдвигом вниз на 2. Функция убывающая, периодическая с периодом $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$. Нули функции: $x = -\frac{\pi}{3} - \arctan(2) + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).