Номер 20.12, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Функции у = tgx, y = ctgx, их свойства и графики. Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 20.12, страница 124.

20.12. Решите графически уравнение:

а) $\operatorname{ctg} x = 1;$

б) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3};$

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

г) $\operatorname{ctg} x = 0.$

а) Для графического решения уравнения $\operatorname{ctg} x = 1$ необходимо найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = 1$.
Построим в одной системе координат график функции $y = \operatorname{ctg} x$ (котангеноиду) и график функции $y = 1$ (горизонтальную прямую).
Графики пересекаются в бесконечном множестве точек. Найдём решение на основном промежутке $(0, \pi)$. Это известное табличное значение: $x = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Поскольку функция котангенса является периодической с периодом $\pi$, все решения уравнения можно получить, прибавляя к найденному значению целое число периодов. Таким образом, общая формула для всех решений:
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ графически найдём точки пересечения графиков функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Построим котангеноиду $y = \operatorname{ctg} x$ и горизонтальную прямую $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Абсциссы точек их пересечения являются решениями. Найдём решение на промежутке $(0, \pi)$. Это табличное значение: $x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Учитывая, что период функции $y = \operatorname{ctg} x$ равен $\pi$, общее решение уравнения имеет вид:
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Чтобы решить уравнение $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ графически, найдём абсциссы точек пересечения котангеноиды $y = \operatorname{ctg} x$ и горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Прямая $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ проходит ниже оси абсцисс. Найдём решение на промежутке $(0, \pi)$. Так как значение котангенса отрицательно, угол $x$ находится во второй четверти. По определению арккотангенса:
$x = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Все решения, в силу периодичности функции котангенса (период $\pi$), описываются формулой:
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Графическое решение уравнения $\operatorname{ctg} x = 0$ сводится к нахождению точек пересечения графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ с прямой $y = 0$, то есть с осью абсцисс (Ox).
Эти точки пересечения являются корнями функции котангенса. Из графика видно, что котангеноида пересекает ось Ox в точках с абсциссами $\dots, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$.
Найдём решение на промежутке $(0, \pi)$: $x = \frac{\pi}{2}$.
Так как период функции $y = \operatorname{ctg} x$ равен $\pi$, все решения можно обобщить формулой:
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.