Номер 20.13, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.13. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на чётность, если:

а) $f(x) = \text{tg}x - \cos x;$

б) $f(x) = \text{tg}x + x;$

в) $f(x) = \text{ctg}^2 x - x^4;$

г) $f(x) = x^3 - \text{ctg} x.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо проверить её область определения и найти значение $f(-x)$.

Функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если область определения функции несимметрична относительно нуля или не выполняется ни одно из указанных выше равенств, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Вспомогательные свойства: $\cos(-x) = \cos x$ (чётная), $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная), $\ctg(-x) = -\ctg x$ (нечётная), $x^n$ — чётная при чётном $n$ и нечётная при нечётном $n$.

а) $f(x) = \tg x - \cos x$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \tg(-x) - \cos(-x)$
Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, получаем:
$f(-x) = -\tg x - \cos x$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -\tg x - \cos x \neq f(x)$, так как $-\tg x - \cos x \neq \tg x - \cos x$.
$-f(x) = -(\tg x - \cos x) = -\tg x + \cos x$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-\tg x - \cos x \neq -\tg x + \cos x$.
Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

б) $f(x) = \tg x + x$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \tg(-x) + (-x) = -\tg x - x = -(\tg x + x)$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = -(\tg x + x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. Это также следует из того, что функция является суммой двух нечётных функций ($\tg x$ и $x$).

Ответ: функция нечётная.

в) $f(x) = \ctg^2 x - x^4$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \ctg^2(-x) - (-x)^4$
Так как $\ctg(-x) = -\ctg x$, то $\ctg^2(-x) = (-\ctg x)^2 = \ctg^2 x$.
Также $(-x)^4 = x^4$.
Получаем: $f(-x) = \ctg^2 x - x^4$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = \ctg^2 x - x^4 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной. Это также следует из того, что функция является разностью двух чётных функций ($\ctg^2 x$ и $x^4$).

Ответ: функция чётная.

г) $f(x) = x^3 - \ctg x$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - \ctg(-x) = -x^3 - (-\ctg x) = -x^3 + \ctg x = -(x^3 - \ctg x)$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = -(x^3 - \ctg x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. Это также следует из того, что функция является разностью двух нечётных функций ($x^3$ и $\ctg x$).

Ответ: функция нечётная.