Номер 20.20, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.20. Исследуйте заданную функцию на монотонность:

а) $y = 2\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1;$

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 3;$

б) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2;$

г) $y = -2\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1,5.$

а) $y = 2 \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$

Для исследования функции на монотонность воспользуемся свойствами базовой функции $y=\operatorname{tg}(t)$ и влиянием преобразований. Функция $y=\operatorname{tg}(t)$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Данная функция получена из $y=\operatorname{tg}(t)$ с помощью сдвигов и растяжения вдоль оси Oy с коэффициентом $k=2$. Так как коэффициент $k=2 > 0$, характер монотонности сохраняется. Сдвиги по осям не влияют на характер монотонности. Следовательно, функция $y = 2 \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \pi n$ $x \neq \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы, на которых функция определена и возрастает, находятся из условия: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi n$. Перенеся $\frac{\pi}{3}$ в левую и правую части, получаем: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов вида $\left(-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$

Базовая функция $y=\operatorname{ctg}(t)$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Данная функция получена из $y=\operatorname{ctg}(t)$ с помощью сдвигов. Коэффициент перед котангенсом равен $k=1 > 0$, поэтому характер монотонности не изменяется. Следовательно, функция $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x + \frac{\pi}{3} \neq \pi n$ $x \neq -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы, на которых функция определена и убывает, находятся из условия: $\pi n < x + \frac{\pi}{3} < \pi + \pi n$. Перенеся $\frac{\pi}{3}$ в левую и правую части, получаем: $-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция убывает на каждом из интервалов вида $\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 3$

Базовая функция $y=\operatorname{tg}(t)$ является возрастающей. Данная функция получена из $y=\operatorname{tg}(t)$ с помощью сдвигов и умножения на коэффициент $k=-1$. Так как коэффициент $k=-1 < 0$, характер монотонности меняется на противоположный, то есть функция становится убывающей. Сдвиги на характер монотонности не влияют. Следовательно, функция $y = -\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - 3$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы убывания: $\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$, то есть $\left(-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция убывает на каждом из интервалов вида $\left(-\frac{3\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -2 \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1,5$

Базовая функция $y=\operatorname{ctg}(t)$ является убывающей. Данная функция получена из $y=\operatorname{ctg}(t)$ с помощью сдвигов и умножения на коэффициент $k=-2$. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, характер монотонности меняется на противоположный. Убывающая функция становится возрастающей. Следовательно, функция $y = -2 \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1,5$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Найдем область определения. Аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $x - \frac{\pi}{6} \neq \pi n$ $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Интервалы возрастания: $\left(0 + \frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + \frac{\pi}{6} + \pi n\right)$, то есть $\left(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{7\pi}{6} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов вида $\left(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{7\pi}{6} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.