Номер 20.21, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

20.21. а) $y = |\operatorname{tg} x|;$

б) $y = \operatorname{tg} |x|;$

в) $y = |\operatorname{ctg} x|;$

г) $y = \operatorname{ctg} |x|.$

а) $y = |\tg x|$

Для построения графика функции $y = |\tg x|$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \tg x$.

1. Сначала построим график функции $y = \tg x$. Это периодическая функция (тангенсоида) с периодом $T = \pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа), и пересекает ось абсцисс в точках $x = \pi n$.
2. Правило построения графика функции $y = |f(x)|$ из графика $y = f(x)$ заключается в следующем:
   • Части графика, которые лежат на оси абсцисс или выше неё (где $f(x) \ge 0$), остаются без изменений.
   • Части графика, которые лежат ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), отражаются симметрично относительно оси абсцисс.
3. Применим это правило к тангенсоиде. На интервалах вида $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ тангенс неотрицателен, поэтому эти участки графика остаются на месте. На интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$ тангенс отрицателен, поэтому эти участки графика, лежащие под осью Ох, отражаются симметрично вверх.

Ответ: График функции $y = |\tg x|$ получается из графика $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс всех его частей, лежащих ниже этой оси. В результате весь график располагается в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и период $T=\pi$ сохраняются.

б) $y = \tg |x|$

Для построения графика функции $y = \tg |x|$ необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \tg x$.

1. Данная функция является четной, так как $y(-x) = \tg|-x| = \tg|x| = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (Оу).
2. Правило построения графика функции $y = f(|x|)$ из графика $y = f(x)$ заключается в следующем:
   • Строится график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
   • Построенная часть графика отражается симметрично относительно оси Оу. При этом часть исходного графика для $x < 0$ удаляется.
3. Применим это правило. Сначала строим график $y = \tg x$ для $x \ge 0$. Эта часть графика проходит через начало координат и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ (то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n \ge 0$).
4. Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Оу. Асимптоты также отразятся, и появятся асимптоты в точках $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, \dots$.

Ответ: График функции $y = \tg|x|$ получается так: строится график $y = \tg x$ для $x \ge 0$, а затем эта часть отражается симметрично относительно оси Оу. Итоговый график симметричен относительно оси ординат, проходит через точку $(0,0)$ и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pm(\frac{\pi}{2} + \pi n)$ для $n = 0, 1, 2, \dots$.

в) $y = |\ctg x|$

Построение этого графика аналогично пункту а). Используется преобразование $y = |f(x)|$ для функции $y = \ctg x$.

1. Сначала построим график функции $y = \ctg x$. Это периодическая функция (котангенсоида) с периодом $T = \pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, и пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
2. Применяем преобразование $y = |f(x)|$. Части графика $y = \ctg x$, лежащие на оси Ох или выше неё, остаются на месте. Части графика, лежащие ниже оси Ох, отражаются симметрично относительно этой оси.
3. На интервалах вида $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ котангенс неотрицателен, поэтому эти участки графика остаются без изменений. На интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi (n+1))$ котангенс отрицателен, и эти участки отражаются симметрично вверх.

Ответ: График функции $y = |\ctg x|$ получается из графика $y = \ctg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс тех его частей, которые лежат ниже этой оси. Полученный график полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), имеет те же вертикальные асимптоты $x = \pi n$ и период $T=\pi$, что и котангенсоида.

г) $y = \ctg |x|$

Построение этого графика аналогично пункту б). Используется преобразование $y = f(|x|)$ для функции $y = \ctg x$.

1. Функция $y = \ctg |x|$ является четной, так как $y(-x) = \ctg|-x| = \ctg|x| = y(x)$. Её график симметричен относительно оси ординат (Оу).
2. Для построения графика сначала строим график функции $y = \ctg x$ для $x > 0$. (При $x=0$ функция не определена). Эта часть графика имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$ (то есть $x = \pi n$ при $n > 0$), а также в точке $x=0$.
3. Затем отражаем построенную для $x > 0$ часть графика симметрично относительно оси Оу. Асимптота $x=0$ останется на месте, а асимптоты $x = \pi n$ для $n > 0$ отразятся в асимптоты $x = -\pi n$.

Ответ: График функции $y = \ctg|x|$ строится следующим образом: строится график $y = \ctg x$ для $x > 0$, а затем эта часть графика симметрично отражается относительно оси Оу. Итоговый график симметричен относительно оси ординат и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$ для всех целых $n \in \mathbb{Z}$ (включая $x=0$).