Номер 20.26, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.26. a) $y = -\operatorname{tg}(\cos x) \cdot \operatorname{ctg}(\cos x);$

б) $y = -2\operatorname{tg}(\sin x) \cdot \operatorname{ctg}(\sin x).$

Дана функция $y = -\tg(\cos x) \cdot \ctg(\cos x)$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же аргумента: $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$.

Это тождество справедливо только в области определения обеих функций, то есть когда $\tg(\alpha)$ и $\ctg(\alpha)$ существуют.

В данном случае аргументом является $\alpha = \cos x$.

Найдем область определения данной функции (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы существовали $\tg(\cos x)$ и $\ctg(\cos x)$.

1. Функция $\tg(\cos x)$ определена, если ее знаменатель в определении $\frac{\sin(\cos x)}{\cos(\cos x)}$ не равен нулю, то есть $\cos(\cos x) \neq 0$. Это означает, что $\cos x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку область значений косинуса $[-1, 1]$, а $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ для любого целого $k$, то равенство $\cos x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не выполняется. Следовательно, $\tg(\cos x)$ определен для любого действительного $x$.

2. Функция $\ctg(\cos x)$ определена, если ее знаменатель в определении $\frac{\cos(\cos x)}{\sin(\cos x)}$ не равен нулю, то есть $\sin(\cos x) \neq 0$. Это означает, что $\cos x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Учитывая, что $|\cos x| \le 1$, единственное значение из множества $\pi k$, которое может принимать $\cos x$, — это $0$ (при $k=0$).

Таким образом, единственное ограничение для области определения исходной функции — это $\cos x \neq 0$.

Решая уравнение $\cos x = 0$, получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Значит, область определения функции: все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

На всей области определения справедливо равенство $\tg(\cos x) \cdot \ctg(\cos x) = 1$.

Тогда исходная функция упрощается: $y = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $y = -1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дана функция $y = -2\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x)$.

Аналогично предыдущему пункту, используем тождество $\tg(\alpha) \cdot \ctg(\alpha) = 1$, где на этот раз $\alpha = \sin x$.

Найдем область определения данной функции (ОДЗ). Выражение имеет смысл, когда определены $\tg(\sin x)$ и $\ctg(\sin x)$.

1. Функция $\tg(\sin x)$ определена, если $\cos(\sin x) \neq 0$. Это означает, что $\sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, а $|\frac{\pi}{2} + \pi k| \ge \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ для любого целого $k$, равенство $\sin x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ никогда не достигается. Следовательно, $\tg(\sin x)$ определен для всех действительных $x$.

2. Функция $\ctg(\sin x)$ определена, если $\sin(\sin x) \neq 0$. Это означает, что $\sin x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Учитывая, что $|\sin x| \le 1$, единственное значение из множества $\pi k$, которое может принимать $\sin x$, — это $0$ (при $k=0$).

Следовательно, для существования функции необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$.

Решая уравнение $\sin x = 0$, получаем $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции: все $x$, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

На всей области определения выполняется равенство $\tg(\sin x) \cdot \ctg(\sin x) = 1$.

Тогда исходную функцию можно упростить: $y = -2 \cdot 1 = -2$.

Ответ: $y = -2$ при $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.