Номер 20.24, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.24. a) $y = 2 \operatorname{tg}x \operatorname{ctg}x + |x|;$б) $y = \operatorname{tg}x \operatorname{ctg}x + \sqrt{x}.$

Рассмотрим функцию $y = 2\tg x \ctg x + |x|$.

Первым шагом найдем область определения данной функции (ОДЗ). Функция $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Функция $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Функция $|x|$ определена для всех действительных чисел $x$.

Для того чтобы исходная функция была определена, должны одновременно существовать $\tg x$ и $\ctg x$. Объединяя два условия для тригонометрических функций, получаем, что $x$ не должен принимать значения вида $\frac{\pi m}{2}$ для любого целого числа $m$.

Итак, область определения функции: $D(y): x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции. На всей области определения справедливо основное тригонометрическое тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:

$y = 2(1) + |x| = 2 + |x|$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y = 2 + |x|$, но рассматривается на более узкой области определения $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. График этой функции представляет собой график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$, с выколотыми точками, абсциссы которых равны $\frac{\pi m}{2}$ (например, ..., $-\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, ...). В частности, точка $(0, 2)$ выколота.

Ответ: $y = 2 + |x|$ при $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим функцию $y = \tg x \ctg x + \sqrt{x}$.

Найдем область определения функции. Как и в пункте а), существование произведения $\tg x \cdot \ctg x$ требует, чтобы $x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Кроме того, выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений аргумента, то есть $x \ge 0$.

Объединим все условия. С одной стороны, $x \ge 0$. С другой стороны, $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для целых $m$. Учитывая, что $x$ должен быть неотрицательным, $m$ может принимать только неотрицательные целые значения: $m = 0, 1, 2, 3, ...$. При $m=0$ получаем $x \neq 0$. Таким образом, область определения состоит из всех положительных чисел, за исключением чисел вида $\frac{\pi n}{2}$, где $n$ — натуральное число.

Итак, область определения функции: $D(y): x > 0, x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{N}$.

Упростим выражение. На найденной области определения $\tg x \cdot \ctg x = 1$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:

$y = 1 + \sqrt{x}$.

Следовательно, исходная функция эквивалентна функции $y = 1 + \sqrt{x}$ при $x > 0$ и $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{N}$. График этой функции — это график квадратного корня $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. При этом из графика исключается начальная точка $(0,1)$ и все точки с абсциссами вида $\frac{\pi n}{2}$ для натуральных $n$.

Ответ: $y = 1 + \sqrt{x}$ при $x > 0, x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{N}$.