Номер 20.23, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.23. a) $y = \operatorname{tg} x |\operatorname{ctg} x|$;

б) $y = |\operatorname{tg} x| \operatorname{ctg} x.$

а) $y = \tg x |\ctg x|$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Для существования функции $\tg x$ необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для существования функции $\ctg x$ необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти два условия, получаем, что функция определена при $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\ctg x$.

Случай 1: $\ctg x > 0$.
Это неравенство справедливо для углов в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\ctg x| = \ctg x$.
Функция принимает вид: $y = \tg x \cdot \ctg x$.
На всей области определения справедливо тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$.
Следовательно, в этом случае $y = 1$.

Случай 2: $\ctg x < 0$.
Это неравенство справедливо для углов во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\ctg x| = -\ctg x$.
Функция принимает вид: $y = \tg x \cdot (-\ctg x) = -(\tg x \cdot \ctg x)$.
Используя тождество $\tg x \cdot \ctg x = 1$, получаем $y = -1$.

Таким образом, мы получили кусочно-постоянную функцию. Её можно представить в виде системы.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \\ -1, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1)) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = |\tg x| \ctg x$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Как и в предыдущем пункте, функция определена, когда одновременно существуют $\tg x$ и $\ctg x$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\tg x$.

Случай 1: $\tg x > 0$.
Это неравенство, как и $\ctg x > 0$, справедливо для углов в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\tg x| = \tg x$.
Функция принимает вид: $y = \tg x \cdot \ctg x = 1$.

Случай 2: $\tg x < 0$.
Это неравенство, как и $\ctg x < 0$, справедливо для углов во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\tg x| = -\tg x$.
Функция принимает вид: $y = (-\tg x) \cdot \ctg x = -(\tg x \cdot \ctg x) = -1$.

Знаки функций $\tg x$ и $\ctg x$ совпадают на всей их общей области определения. Поэтому условия $\tg x > 0$ и $\ctg x > 0$ определяют одни и те же интервалы, так же как и условия $\tg x < 0$ и $\ctg x < 0$. Это означает, что данная функция идентична функции из пункта а).

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \\ -1, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1)) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.