Номер 20.25, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.25. a) $y = \sin^2(\operatorname{tg} x) + \cos^2(\operatorname{tg} x)$;

б) $y = 3 \cos^2(\operatorname{ctg} x) + 3 \sin^2(\operatorname{ctg} x)$.

а) Дана функция $y = \sin^2(\operatorname{tg} x) + \cos^2(\operatorname{tg} x)$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого действительного аргумента $\alpha$ справедливо равенство: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
В данном случае в качестве аргумента $\alpha$ выступает выражение $\operatorname{tg} x$.
Подставив $\alpha = \operatorname{tg} x$ в тождество, получаем:
$y = \sin^2(\operatorname{tg} x) + \cos^2(\operatorname{tg} x) = 1$.
Это равенство выполняется для всех значений $x$, для которых определена функция $\operatorname{tg} x$. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, на всей своей области определения функция тождественно равна 1.
Ответ: $y = 1$.

б) Дана функция $y = 3\cos^2(\operatorname{ctg} x) + 3\sin^2(\operatorname{ctg} x)$.
Для упрощения выражения сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$y = 3(\cos^2(\operatorname{ctg} x) + \sin^2(\operatorname{ctg} x))$.
Выражение в скобках, $\cos^2(\operatorname{ctg} x) + \sin^2(\operatorname{ctg} x)$, является частным случаем основного тригонометрического тождества $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, где в качестве аргумента $\alpha$ выступает $\operatorname{ctg} x$.
Следовательно, выражение в скобках равно 1.
Подставив это значение в наше уравнение, получаем:
$y = 3 \cdot 1 = 3$.
Это равенство выполняется для всех значений $x$, для которых определена функция $\operatorname{ctg} x$. Область определения котангенса — все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, на всей своей области определения функция тождественно равна 3.
Ответ: $y = 3$.