Номер 20.8, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

20.8. a) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1;$

б) $y = \text{tg} \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2};$

в) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1;$

г) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.$

а) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$ используется график основной функции $y = \text{tg}(x)$, который преобразуется с помощью параллельных переносов.

Данная функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = -\frac{\pi}{6}$ и $D = 1$.

1. Сначала строим график функции $y = \text{tg}(x)$. Это периодическая функция с периодом $\pi$. Её вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
2. Выполняем параллельный перенос графика $y = \text{tg}(x)$ вдоль оси абсцисс. Так как $C = -\frac{\pi}{6}$, перенос осуществляется влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Получаем график функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Вертикальные асимптоты смещаются влево и теперь задаются уравнениями $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки, которые были нулями функции ($x=\pi n$), теперь являются центрами симметрии ветвей графика и имеют координаты $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, 0)$.
3. Выполняем параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат. Так как $D = 1$, перенос осуществляется вверх на 1 единицу. Это преобразование не меняет положение вертикальных асимптот. Центры симметрии смещаются вверх и теперь имеют координаты $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, 1)$.

Таким образом, график функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$ — это тангенсоида с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, 1), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ и сдвига вверх вдоль оси Oy на 1.

б) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ используется график функции $y = \text{tg}(x)$ и его преобразования.

Функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = \frac{2\pi}{3}$ и $D = \frac{1}{2}$.

1. Строим базовый график $y = \text{tg}(x)$ с асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y = \text{tg}(x)$ вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единиц (так как $C > 0$). Получаем график $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$. Новые асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. Сдвигаем полученный график вверх на $\frac{1}{2}$ единицы (так как $D > 0$). Центры симметрии ветвей графика, которые после первого сдвига находились в точках $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, 0)$, теперь перемещаются в точки $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, \frac{1}{2})$.

График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ — это тангенсоида с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, \frac{1}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$ и сдвига вверх вдоль оси Oy на $\frac{1}{2}$.

в) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1$ используется график функции $y = \text{tg}(x)$ и его преобразования.

Функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = \frac{\pi}{2}$ и $D = -1$.

1. Строим базовый график $y = \text{tg}(x)$ с асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y = \text{tg}(x)$ вправо на $\frac{\pi}{2}$ единиц (так как $C > 0$). Получаем график $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Новые асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \pi + \pi n = k\pi, k \in \mathbb{Z}$. (Примечание: $\text{tg}(x - \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(x)$).
3. Сдвигаем полученный график вниз на 1 единицу (так как $D < 0$). Центры симметрии ветвей графика, которые после первого сдвига находились в точках $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, теперь перемещаются в точки $(\frac{\pi}{2} + \pi n, -1)$.

График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1$ — это тангенсоида (или, что то же самое, перевернутый и сдвинутый котангенс) с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, -1), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{2}$ и сдвига вниз вдоль оси Oy на 1.

г) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ используется график функции $y = \text{tg}(x)$ и его преобразования.

Функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = -\frac{\pi}{3}$ и $D = -2$.

1. Строим базовый график $y = \text{tg}(x)$ с асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y = \text{tg}(x)$ влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц (так как $C < 0$). Получаем график $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Новые асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. Сдвигаем полученный график вниз на 2 единицы (так как $D < 0$). Центры симметрии ветвей графика, которые после первого сдвига находились в точках $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, 0)$, теперь перемещаются в точки $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, -2)$.

График функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ — это тангенсоида с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, -2), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ и сдвига вниз вдоль оси Oy на 2.