Номер 20.4, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.4. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \text{tg} x$. Докажите, что:

а) $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$;

б) $f(\pi - x) + f(5\pi + x) = 0$.

а) Необходимо доказать, что $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$, где $f(x) = \tg x$.
Для этого подставим определение функции в левую часть доказываемого равенства:
$f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = \tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x)$.
Теперь воспользуемся свойствами тригонометрической функции тангенс:
1. Функция $y = \tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\tg(z + k\pi) = \tg z$.
Применим это свойство к каждому слагаемому в нашем выражении:
Для первого слагаемого: $\tg(2x + 2\pi) = \tg(2x)$, так как $k=2$.
Для второго слагаемого: $\tg(7\pi - 2x) = \tg(-2x + 7\pi) = \tg(-2x)$, так как $k=7$.
2. Функция $y = \tg x$ является нечетной. Это означает, что для любого $z$ из области определения выполняется равенство $\tg(-z) = -\tg z$.
Применим это свойство ко второму слагаемому в его упрощенном виде:
$\tg(-2x) = -\tg(2x)$.
Теперь соберем все вместе, подставив упрощенные выражения в исходную сумму:
$\tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x) = \tg(2x) + (-\tg(2x)) = \tg(2x) - \tg(2x) = 0$.
Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$ доказано.

б) Необходимо доказать, что $f(\pi - x) + f(5\pi + x) = 0$.
Аналогично пункту а), подставим определение функции $f(x) = \tg x$ в левую часть равенства:
$f(\pi - x) + f(5\pi + x) = \tg(\pi - x) + \tg(5\pi + x)$.
Упростим каждое слагаемое, используя свойства тангенса.
Для первого слагаемого воспользуемся формулой приведения $\tg(\pi - z) = -\tg z$:
$\tg(\pi - x) = -\tg x$.
Для второго слагаемого воспользуемся свойством периодичности $\tg(z + k\pi) = \tg z$:
$\tg(5\pi + x) = \tg(x + 5\pi) = \tg x$, так как $k=5$.
Теперь подставим упрощенные выражения в исходную сумму:
$\tg(\pi - x) + \tg(5\pi + x) = -\tg x + \tg x = 0$.
Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $f(\pi - x) + f(5\pi + x) = 0$ доказано.