Номер 19.12, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.12. При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2 \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$:

а) возрастает на $\left(a - \frac{2\pi}{3}; a + \frac{2\pi}{3}\right)$;

б) убывает на $\left[a; a + \frac{\pi}{2}\right]$?

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = 2 \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$ найдем ее производную.

$y'(x) = \left(2 \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = 2 \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)' = 2 \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$.

а) Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна, то есть $y'(x) \ge 0$.

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в промежутке $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi + \pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Умножим все части на 2:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $\left[-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \frac{2\pi}{3} + 4\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы функция возрастала на интервале $\left(a - \frac{2\pi}{3}; a + \frac{2\pi}{3}\right)$, этот интервал должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков возрастания. Это эквивалентно тому, что отрезок $\left[a - \frac{2\pi}{3}; a + \frac{2\pi}{3}\right]$ является подмножеством одного из промежутков $\left[-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \frac{2\pi}{3} + 4\pi k\right]$.

Запишем это в виде системы неравенств для некоторого целого $k$:

$\begin{cases} a - \frac{2\pi}{3} \ge -\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \\ a + \frac{2\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $a$:

$\begin{cases} a \ge -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

$\begin{cases} a \ge -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le 4\pi k \end{cases}$

Следовательно, $-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le a \le 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $a \in \left[-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; 4\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

б) Функция убывает, когда ее производная неположительна, то есть $y'(x) \le 0$.

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \le 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в промежутке $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{9\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{8\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{2} \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.

Умножим все части на 2:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k$.

Таким образом, функция убывает на промежутках $\left[\frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \frac{8\pi}{3} + 4\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы функция убывала на отрезке $\left[a; a + \frac{\pi}{2}\right]$, этот отрезок должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков убывания.

Запишем это в виде системы неравенств для некоторого целого $k$:

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a + \frac{\pi}{2} \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $a$:

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{8\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 4\pi k \end{cases}$

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{16\pi - 3\pi}{6} + 4\pi k \end{cases}$

$\begin{cases} a \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ a \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k \end{cases}$

Следовательно, $\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le a \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $a \in \left[\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{13\pi}{6} + 4\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.