Номер 19.8, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.8. На каких промежутках функция $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$:

a) возрастает;

б) убывает?

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 3 \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$, воспользуемся свойствами базовой функции $f(t) = \cos(t)$. Множитель 3 перед косинусом влияет только на амплитуду (растяжение по оси y) и не изменяет промежутки монотонности. Характер монотонности определяется поведением аргумента косинуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$.

а) возрастает;

Функция $f(t) = \cos(t)$ возрастает на промежутках вида $[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, данная функция $y$ возрастает, когда её аргумент $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ принадлежит одному из этих промежутков. Составим и решим двойное неравенство относительно $x$:

$-\pi + 2\pi n \le 2x + \frac{2\pi}{3} \le 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сначала вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{3\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Теперь разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n \le x \le -\frac{2\pi}{6} + \pi n$

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n \le x \le -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Таким образом, функция возрастает на промежутках $\left[-\frac{5\pi}{6} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left[-\frac{5\pi}{6} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

б) убывает?

Функция $f(t) = \cos(t)$ убывает на промежутках вида $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, данная функция $y$ убывает, когда её аргумент $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ принадлежит одному из этих промежутков. Составим и решим соответствующее двойное неравенство:

$2\pi n \le 2x + \frac{2\pi}{3} \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$2\pi n - \frac{2\pi}{3} \le 2x \le \pi - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{2\pi}{6} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + \pi n$

$-\frac{\pi}{3} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + \pi n$

Таким образом, функция убывает на промежутках $\left[-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left[-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.