Номер 19.13, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19.13. При каких положительных значениях параметра $a$ функ-ция $y = -3 \cos \left(3x - \frac{\pi}{2}\right)$:

a) возрастает на $(a; 2a)$;

б) убывает на $\left[a; a + \frac{\pi}{3}\right]$?

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = -3\cos(3x - \frac{\pi}{2})$ преобразуем ее, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$.

$y = -3\sin(3x)$

Теперь найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (-3\sin(3x))' = -3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = -9\cos(3x)$

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.

$-9\cos(3x) > 0 \implies \cos(3x) < 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится во второй или третьей четверти:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки возрастания функции $y(x)$:

$x \in (\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$.

$-9\cos(3x) < 0 \implies \cos(3x) > 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в первой или четвертой четверти:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки убывания функции $y(x)$. Поскольку производная обращается в нуль только в граничных точках, функция строго убывает на замкнутых промежутках:

$x \in [-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

По условию задачи, параметр $a$ должен быть положительным ($a > 0$).

а) возрастает на (a; 2a)

Чтобы функция возрастала на интервале $(a; 2a)$, этот интервал должен полностью содержаться в одном из промежутков возрастания $(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3})$.

Так как $a > 0$, интервал $(a; 2a)$ содержит только положительные числа, следовательно, и промежуток возрастания должен содержать положительные числа. Это требует, чтобы его левая граница была неотрицательной: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \ge 0$, что эквивалентно $1+4n \ge 0$, откуда $n \ge -1/4$. Так как $n$ — целое число, то $n \ge 0$.

Для некоторого целого $n \ge 0$ должны выполняться условия:

$\begin{cases} a \ge \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \\ 2a \le \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3} \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $a \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$. Объединяя, имеем:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le a \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$

Чтобы такой отрезок для значений $a$ существовал, его левая граница не должна превышать правую:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$

$\frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \implies \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{12} \implies n \le \frac{1}{4}$

Учитывая, что $n$ — целое неотрицательное число, единственное возможное значение — это $n = 0$.

Подставив $n=0$ в неравенство для $a$, получаем:

$\frac{\pi}{6} \le a \le \frac{\pi}{4}$

Ответ: $a \in [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{4}]$.

б) убывает на $\left[a; a + \frac{\pi}{3}\right]$

Чтобы функция убывала на отрезке $[a; a + \frac{\pi}{3}]$, этот отрезок должен полностью содержаться в одном из промежутков убывания $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}]$.

Длина заданного отрезка равна $(a + \frac{\pi}{3}) - a = \frac{\pi}{3}$.

Длина промежутка убывания равна $(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}) - (-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку длины отрезков совпадают, заданный отрезок должен в точности совпадать с одним из промежутков убывания.

$\begin{cases} a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \\ a + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \end{cases}$

Оба уравнения дают одно и то же выражение для $a$: $a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

По условию $a > 0$, поэтому:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} > 0 \implies \frac{2\pi n}{3} > \frac{\pi}{6} \implies 2n > \frac{1}{2} \implies n > \frac{1}{4}$

Так как $n$ — целое число, то $n$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$.

Таким образом, искомые значения параметра $a$ образуют последовательность. Для удобства записи можно ввести новый индекс $k=n-1$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

$a = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi (k+1)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$.

Ответ: $a = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.