Номер 20.3, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.3. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на чётность, если:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x \sin^2 x;$

б) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^2 - 1};$

в) $f(x) = x^5 \operatorname{tg} x;$

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \operatorname{tg} x.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является нечётной.
   Если ни одно из этих равенств не выполняется для всех $x$ из области определения, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $f(x) = \tg x \sin^2 x$

1. Найдём область определения $D(f)$. Функция $\tg x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Функция $\sin^2 x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \tg(-x) \sin^2(-x)$

Используем свойства тригонометрических функций: $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная функция) и $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная функция). Тогда $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ (чётная функция).

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-\tg x) \cdot (\sin^2 x) = -(\tg x \sin^2 x) = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

б) $f(x) = \frac{\tg^2 x}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. Также, из-за наличия $\tg^2 x$, имеем $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \pm 1, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

Используем свойства функций: $\tg(-x) = -\tg x$, поэтому $\tg^2(-x) = (-\tg x)^2 = \tg^2 x$. Также $(-x)^2 = x^2$. Числитель $y = \tg^2 x$ и знаменатель $y = x^2 - 1$ являются чётными функциями.

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg^2 x}{x^2 - 1} = f(x)$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

в) $f(x) = x^5 \tg x$

1. Область определения $D(f)$ такая же, как у функции $\tg x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \tg(-x)$

Функция $y=x^5$ является нечётной, так как $(-x)^5 = -x^5$. Функция $y=\tg x$ также является нечётной, $\tg(-x) = -\tg x$.

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-x^5) \cdot (-\tg x) = x^5 \tg x = f(x)$

Произведение двух нечётных функций является чётной функцией. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

г) $f(x) = x^2 + \sin x + \tg x$

1. Область определения $D(f)$ определяется функцией $\tg x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) + \tg(-x)$

Используем свойства чётности и нечётности слагаемых:
$(-x)^2 = x^2$ (чётная функция).
$\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная функция).
$\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная функция).

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = x^2 - \sin x - \tg x$

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

$f(x) = x^2 + \sin x + \tg x$

$-f(x) = -(x^2 + \sin x + \tg x) = -x^2 - \sin x - \tg x$

Видно, что равенства $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения. Например, при $x = \frac{\pi}{4}$:

$f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2 + \sin(\frac{\pi}{4}) + \tg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

$f(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\pi}{4})^2 + \sin(-\frac{\pi}{4}) + \tg(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$

Очевидно, что $f(-\frac{\pi}{4}) \neq f(\frac{\pi}{4})$ и $f(-\frac{\pi}{4}) \neq -f(\frac{\pi}{4})$.

Функция представляет собой сумму чётной функции ($x^2$) и нечётной функции ($\sin x + \tg x$), поэтому она не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная функция.