Номер 20.7, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.7. Постройте график функции:

а) $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

б) $y = \text{tg}x + 1;$

в) $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

г) $y = \text{tg}x - 2.$

а) Чтобы построить график функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{2})$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x+a)$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц влево.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{2})$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ влево на $\frac{\pi}{2}$.

1. Исходный график $y = \text{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При сдвиге влево на $\frac{\pi}{2}$, новые асимптоты будут находиться в точках $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - \frac{\pi}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Нули функции $y = \text{tg} x$ находятся в точках $x = \pi k$. При сдвиге влево на $\frac{\pi}{2}$ они переместятся в точки $x = \pi k - \frac{\pi}{2}$.

Стоит отметить, что по формуле приведения $\text{tg}(x + \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg} x$. Таким образом, искомый график является графиком функции $y = -\text{ctg} x$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x + \frac{\pi}{2})$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{2}$ единиц.

б) Чтобы построить график функции $y = \text{tg} x + 1$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x)+b$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси ординат (Oy) на $b$ единиц.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg} x + 1$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ вверх на 1 единицу.

1. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) не изменяются, так как сдвиг происходит только по вертикали.
2. Каждая точка графика $y = \text{tg} x$ смещается на 1 единицу вверх. Например, точки перегиба, которые были на оси Ox в точках $(\pi k, 0)$, теперь будут находиться в точках $(\pi k, 1)$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, 2)$.
3. Новые нули функции находятся из уравнения $\text{tg} x + 1 = 0 \implies \text{tg} x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg} x + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ вверх вдоль оси Oy на 1 единицу.

в) Чтобы построить график функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x-a)$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц вправо.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.

1. Исходный график $y = \text{tg} x$ имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При сдвиге вправо на $\frac{\pi}{4}$, новые асимптоты будут находиться в точках $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Нули функции $y = \text{tg} x$ находятся в точках $x = \pi k$. При сдвиге вправо на $\frac{\pi}{4}$ они переместятся в точки $x = \pi k + \frac{\pi}{4}$. Эти точки также будут новыми точками перегиба.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

г) Чтобы построить график функции $y = \text{tg} x - 2$, нужно выполнить преобразование графика базовой функции $y = \text{tg} x$. В данном случае это преобразование вида $y = f(x)-b$, что соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $f(x)$ вдоль оси ординат (Oy) на $b$ единиц вниз.

Таким образом, для построения графика $y = \text{tg} x - 2$, необходимо сдвинуть график $y = \text{tg} x$ вниз на 2 единицы.

1. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) не изменяются, так как сдвиг происходит только по вертикали.
2. Каждая точка графика $y = \text{tg} x$ смещается на 2 единицы вниз. Например, точки перегиба, которые были на оси Ox в точках $(\pi k, 0)$, теперь будут находиться в точках $(\pi k, -2)$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, -1)$.
3. Новые нули функции находятся из уравнения $\text{tg} x - 2 = 0 \implies \text{tg} x = 2$, откуда $x = \text{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg} x - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \text{tg} x$ вниз вдоль оси Oy на 2 единицы.