Номер 20.11, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20.11. Найдите область значений заданной функции:

а) $y = \operatorname{tg} x, x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $y = \operatorname{ctg} x, x \in \left[-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3}\right];$

в) $y = \operatorname{tg} x, x \in \left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}\right);$

г) $y = \operatorname{ctg} x, x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right).$

а) Дана функция $y = \operatorname{tg} x$ на полуинтервале $x \in [0; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке функция $y = \operatorname{tg} x$ является непрерывной и строго возрастающей. Для нахождения области значений найдем значения функции на границах промежутка. На левой границе при $x=0$ имеем: $y = \operatorname{tg}(0) = 0$. Поскольку точка $x=0$ включена в интервал (квадратная скобка), значение $y=0$ также включается в область значений. На правой границе, при $x$, стремящемся к $\frac{\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{\pi}{2}^-$), значение функции $\operatorname{tg} x$ стремится к положительной бесконечности ($+\infty$), так как это вертикальная асимптота для тангенса. Таким образом, функция принимает все значения от $0$ включительно до $+\infty$.
Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \operatorname{ctg} x$ на отрезке $x \in [-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3}]$. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является непрерывной и строго убывающей на всем интервале $(-\pi; 0)$, который содержит данный отрезок. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ область значений будет отрезком $[y(b); y(a)]$. Вычислим значения функции на концах отрезка: При $x = -\frac{5\pi}{6}$: $y = \operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. При $x = -\frac{\pi}{3}$: $y = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, область значений функции — это отрезок от $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ до $\sqrt{3}$.
Ответ: $y \in [-\frac{\sqrt{3}}{3}; \sqrt{3}]$.

в) Дана функция $y = \operatorname{tg} x$ на множестве $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4})$. Найдем область значений на каждом из этих интервалов. 1. На интервале $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$: На левой границе $x = \frac{3\pi}{4}$, $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. При $x \to \frac{3\pi}{2}$ слева, $\operatorname{tg} x \to +\infty$. На этом интервале функция принимает все значения от $-1$ (не включая) до $+\infty$. Область значений: $(-1; +\infty)$. 2. На интервале $x \in (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4})$: При $x \to \frac{3\pi}{2}$ справа, $\operatorname{tg} x \to -\infty$. На правой границе $x = \frac{7\pi}{4}$, $\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}) = -1$. На этом интервале функция принимает все значения от $-\infty$ до $-1$ (не включая). Область значений: $(-\infty; -1)$. Общая область значений функции является объединением полученных множеств.
Ответ: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Дана функция $y = \operatorname{ctg} x$ на множестве $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \cup (\pi; \frac{3\pi}{2})$. Точка $x=\pi$ является вертикальной асимптотой для котангенса. 1. На интервале $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает. При $x \to \frac{\pi}{2}$ справа, $\operatorname{ctg} x \to \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. При $x \to \pi$ слева, $\operatorname{ctg} x \to -\infty$. Область значений на этом интервале: $(-\infty; 0)$. 2. На интервале $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ также убывает. При $x \to \pi$ справа, $\operatorname{ctg} x \to +\infty$. При $x \to \frac{3\pi}{2}$ слева, $\operatorname{ctg} x \to \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Область значений на этом интервале: $(0; +\infty)$. Общая область значений функции является объединением этих двух множеств.
Ответ: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.