Страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

20.8. a) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1;$

б) $y = \text{tg} \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2};$

в) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1;$

г) $y = \text{tg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.$

а) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$ используется график основной функции $y = \text{tg}(x)$, который преобразуется с помощью параллельных переносов.

Данная функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = -\frac{\pi}{6}$ и $D = 1$.

1. Сначала строим график функции $y = \text{tg}(x)$. Это периодическая функция с периодом $\pi$. Её вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
2. Выполняем параллельный перенос графика $y = \text{tg}(x)$ вдоль оси абсцисс. Так как $C = -\frac{\pi}{6}$, перенос осуществляется влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Получаем график функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Вертикальные асимптоты смещаются влево и теперь задаются уравнениями $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Точки, которые были нулями функции ($x=\pi n$), теперь являются центрами симметрии ветвей графика и имеют координаты $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, 0)$.
3. Выполняем параллельный перенос полученного графика вдоль оси ординат. Так как $D = 1$, перенос осуществляется вверх на 1 единицу. Это преобразование не меняет положение вертикальных асимптот. Центры симметрии смещаются вверх и теперь имеют координаты $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, 1)$.

Таким образом, график функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$ — это тангенсоида с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, 1), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 1$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ и сдвига вверх вдоль оси Oy на 1.

б) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ используется график функции $y = \text{tg}(x)$ и его преобразования.

Функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = \frac{2\pi}{3}$ и $D = \frac{1}{2}$.

1. Строим базовый график $y = \text{tg}(x)$ с асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y = \text{tg}(x)$ вправо на $\frac{2\pi}{3}$ единиц (так как $C > 0$). Получаем график $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$. Новые асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. Сдвигаем полученный график вверх на $\frac{1}{2}$ единицы (так как $D > 0$). Центры симметрии ветвей графика, которые после первого сдвига находились в точках $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, 0)$, теперь перемещаются в точки $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, \frac{1}{2})$.

График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ — это тангенсоида с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = \frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(\frac{2\pi}{3} + \pi n, \frac{1}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{2\pi}{3}$ и сдвига вверх вдоль оси Oy на $\frac{1}{2}$.

в) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1$ используется график функции $y = \text{tg}(x)$ и его преобразования.

Функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = \frac{\pi}{2}$ и $D = -1$.

1. Строим базовый график $y = \text{tg}(x)$ с асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y = \text{tg}(x)$ вправо на $\frac{\pi}{2}$ единиц (так как $C > 0$). Получаем график $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Новые асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \pi + \pi n = k\pi, k \in \mathbb{Z}$. (Примечание: $\text{tg}(x - \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(x)$).
3. Сдвигаем полученный график вниз на 1 единицу (так как $D < 0$). Центры симметрии ветвей графика, которые после первого сдвига находились в точках $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, теперь перемещаются в точки $(\frac{\pi}{2} + \pi n, -1)$.

График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1$ — это тангенсоида (или, что то же самое, перевернутый и сдвинутый котангенс) с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, -1), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - 1$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{2}$ и сдвига вниз вдоль оси Oy на 1.

г) Для построения графика функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ используется график функции $y = \text{tg}(x)$ и его преобразования.

Функция имеет вид $y = \text{tg}(x - C) + D$, где $C = -\frac{\pi}{3}$ и $D = -2$.

1. Строим базовый график $y = \text{tg}(x)$ с асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y = \text{tg}(x)$ влево на $\frac{\pi}{3}$ единиц (так как $C < 0$). Получаем график $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Новые асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. Сдвигаем полученный график вниз на 2 единицы (так как $D < 0$). Центры симметрии ветвей графика, которые после первого сдвига находились в точках $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, 0)$, теперь перемещаются в точки $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, -2)$.

График функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ — это тангенсоида с периодом $\pi$, вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и точками перегиба $(-\frac{\pi}{3} + \pi n, -2), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ и сдвига вниз вдоль оси Oy на 2.

20.9. a) $y = -\operatorname{tg} x;$

б) $y = -\operatorname{tg} x + 1;$

В) $y = -\operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{2}\right);$

Г) $y = -\operatorname{tg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.$

а) $y = -\tg x$

График функции $y = -\tg x$ получается из графика базовой функции $y = \tg x$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

Основные свойства функции:

1. Область определения: Все действительные числа, кроме точек, где тангенс не определен. $D(y) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $y=0$ при $-\tg x = 0$, то есть $\tg x = 0$. Это выполняется при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: В отличие от функции $y = \tg x$, которая возрастает на каждом интервале области определения, функция $y = -\tg x$ является убывающей на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = -\tg x$ получается из графика $y = \tg x$ отражением относительно оси Ox. Функция убывает на всей области определения, имеет период $\pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и нули при $x = \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

б) $y = -\tg x + 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = -\tg x$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (оси Oy) на 1 единицу вверх.

Таким образом, для построения графика функции $y = -\tg x + 1$ нужно выполнить следующую последовательность преобразований над графиком $y = \tg x$:

1. Симметрично отразить график $y = \tg x$ относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -\tg x$.

2. Сдвинуть полученный график $y = -\tg x$ на 1 единицу вверх по оси Oy.

Основные свойства функции:

1. Область определения: Не изменяется по сравнению с $y = \tg x$. $D(y) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений: Не изменяется, $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Период остается прежним, $T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты не изменяются при вертикальном сдвиге. Они остаются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$. Решаем уравнение $-\tg x + 1 = 0$, откуда $\tg x = 1$. Это выполняется при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: Функция, как и $y = -\tg x$, является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: График функции $y = -\tg x + 1$ получается из графика $y = \tg x$ отражением относительно оси Ox и последующим сдвигом на 1 единицу вверх. Функция убывает на всей области определения, имеет период $\pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

в) $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$

Для анализа этой функции можно использовать формулу приведения для тангенса: $\tg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\ctg(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.

Тогда $y = -(-\ctg x) = \ctg x$. Таким образом, график данной функции полностью совпадает с графиком функции котангенса $y = \ctg x$.

Альтернативно, можно получить этот график с помощью преобразований графика $y = \tg x$:

1. Сдвинуть график $y = \tg x$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{2}$ единиц, чтобы получить график $y = \tg(x - \frac{\pi}{2})$.

2. Симметрично отразить полученный график относительно оси Ox, чтобы получить $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$.

Основные свойства функции (совпадают со свойствами $y = \ctg x$):

1. Область определения: $y=\ctg x$ не определен, когда $\sin x = 0$. Это происходит при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $D(y) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Период функции равен $\pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $y=0$ при $\ctg x = 0$. Это происходит, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: Функция $y = \ctg x$ является убывающей на каждом из интервалов своей области определения $( \pi k; \pi(k+1) )$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Данная функция тождественно равна $y = \ctg x$. Её график - это стандартный график котангенса. Он может быть получен из графика $y = \tg x$ сдвигом на $\frac{\pi}{2}$ вправо и отражением относительно оси Ox. Функция убывает на всей области определения, имеет период $\pi$, асимптоты $x = \pi k$ и нули при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

г) $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

График этой функции получается из графика $y = \tg x$ с помощью последовательности из трех преобразований:

1. Отражение: Сначала строим график $y = -\tg x$, отражая $y = \tg x$ относительно оси Ox.

2. Горизонтальный сдвиг: Затем сдвигаем график $y = -\tg x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц. Получаем график функции $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3})$.

3. Вертикальный сдвиг: Наконец, сдвигаем полученный график вниз вдоль оси Oy на 2 единицы. Получаем итоговый график $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2$.

Основные свойства функции:

1. Область определения: Функция не определена, когда аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. $x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; \infty)$.

3. Периодичность: Период остается неизменным, $T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$. $-\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2 = 0 \implies \tg(x + \frac{\pi}{3}) = -2$. $x + \frac{\pi}{3} = \arctan(-2) + \pi k$. $x = -\frac{\pi}{3} + \arctan(-2) + \pi k$. Используя свойство $\arctan(-z) = -\arctan(z)$, получаем: $x = -\frac{\pi}{3} - \arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Монотонность: Функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{5\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \tg x$ последовательным отражением относительно оси Ox, сдвигом влево на $\frac{\pi}{3}$ и сдвигом вниз на 2. Функция убывающая, периодическая с периодом $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$. Нули функции: $x = -\frac{\pi}{3} - \arctan(2) + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

20.10. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \operatorname{ctg} x$ на заданном промежутке:

а) на отрезке $[\text{--}\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$;

б) на полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$;

в) на интервале $(-\pi; 0)$;

г) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \text{ctg} \, x$ на заданных промежутках воспользуемся свойством ее монотонности. Функция котангенса является убывающей на всей своей области определения, то есть на каждом из интервалов вида $(k\pi, (k+1)\pi)$, где $k$ — любое целое число. Это следует из того, что ее производная $y' = (\text{ctg} \, x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда отрицательна.

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$

Отрезок $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} \, x$ непрерывна и монотонно убывает. На отрезке убывающая функция достигает своего наибольшего значения в начальной точке (на левом конце) и наименьшего значения в конечной точке (на правом конце).

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$

На полуинтервале $[\frac{\pi}{2}; \pi)$, который также лежит внутри интервала $(0, \pi)$, функция $y = \text{ctg} \, x$ непрерывна и убывает. Наибольшее значение достигается в левой точке $x = \frac{\pi}{2}$, так как эта точка принадлежит промежутку.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Правая граница $x = \pi$ не входит в данный полуинтервал. При приближении $x$ к $\pi$ слева, значение котангенса стремится к минус бесконечности:

$\lim_{x \to \pi^-} \text{ctg} \, x = \lim_{x \to \pi^-} \frac{\cos x}{\sin x} = -\infty$ (поскольку $\cos x \to -1$, а $\sin x \to 0$ оставаясь положительным).

Так как функция не ограничена снизу, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.

в) на интервале $(-\pi; 0)$

На интервале $(-\pi; 0)$ функция $y = \text{ctg} \, x$ также непрерывна и монотонно убывает. Поскольку интервал открытый, функция не достигает значений на его концах. Исследуем поведение функции на границах интервала.

При $x$, стремящемся к $-\pi$ справа: $\lim_{x \to -\pi^+} \text{ctg} \, x = +\infty$.

При $x$, стремящемся к $0$ слева: $\lim_{x \to 0^-} \text{ctg} \, x = -\infty$.

Функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Следовательно, на данном интервале функция не ограничена ни сверху, ни снизу, и у нее нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: ни наибольшего, ни наименьшего значений функции не существует.

г) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$

Отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$ является частью интервала $(0, \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg} \, x$ непрерывна и монотонно убывает. Как и в пункте а), наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = \text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно $\sqrt{3}$.

20.11. Найдите область значений заданной функции:

а) $y = \operatorname{tg} x, x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $y = \operatorname{ctg} x, x \in \left[-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3}\right];$

в) $y = \operatorname{tg} x, x \in \left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}\right);$

г) $y = \operatorname{ctg} x, x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right).$

а) Дана функция $y = \operatorname{tg} x$ на полуинтервале $x \in [0; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке функция $y = \operatorname{tg} x$ является непрерывной и строго возрастающей. Для нахождения области значений найдем значения функции на границах промежутка. На левой границе при $x=0$ имеем: $y = \operatorname{tg}(0) = 0$. Поскольку точка $x=0$ включена в интервал (квадратная скобка), значение $y=0$ также включается в область значений. На правой границе, при $x$, стремящемся к $\frac{\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{\pi}{2}^-$), значение функции $\operatorname{tg} x$ стремится к положительной бесконечности ($+\infty$), так как это вертикальная асимптота для тангенса. Таким образом, функция принимает все значения от $0$ включительно до $+\infty$.
Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \operatorname{ctg} x$ на отрезке $x \in [-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3}]$. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ является непрерывной и строго убывающей на всем интервале $(-\pi; 0)$, который содержит данный отрезок. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ область значений будет отрезком $[y(b); y(a)]$. Вычислим значения функции на концах отрезка: При $x = -\frac{5\pi}{6}$: $y = \operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. При $x = -\frac{\pi}{3}$: $y = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, область значений функции — это отрезок от $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ до $\sqrt{3}$.
Ответ: $y \in [-\frac{\sqrt{3}}{3}; \sqrt{3}]$.

в) Дана функция $y = \operatorname{tg} x$ на множестве $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4})$. Найдем область значений на каждом из этих интервалов. 1. На интервале $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$: На левой границе $x = \frac{3\pi}{4}$, $\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$. При $x \to \frac{3\pi}{2}$ слева, $\operatorname{tg} x \to +\infty$. На этом интервале функция принимает все значения от $-1$ (не включая) до $+\infty$. Область значений: $(-1; +\infty)$. 2. На интервале $x \in (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4})$: При $x \to \frac{3\pi}{2}$ справа, $\operatorname{tg} x \to -\infty$. На правой границе $x = \frac{7\pi}{4}$, $\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}) = -1$. На этом интервале функция принимает все значения от $-\infty$ до $-1$ (не включая). Область значений: $(-\infty; -1)$. Общая область значений функции является объединением полученных множеств.
Ответ: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Дана функция $y = \operatorname{ctg} x$ на множестве $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \cup (\pi; \frac{3\pi}{2})$. Точка $x=\pi$ является вертикальной асимптотой для котангенса. 1. На интервале $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает. При $x \to \frac{\pi}{2}$ справа, $\operatorname{ctg} x \to \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. При $x \to \pi$ слева, $\operatorname{ctg} x \to -\infty$. Область значений на этом интервале: $(-\infty; 0)$. 2. На интервале $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$: Функция $y = \operatorname{ctg} x$ также убывает. При $x \to \pi$ справа, $\operatorname{ctg} x \to +\infty$. При $x \to \frac{3\pi}{2}$ слева, $\operatorname{ctg} x \to \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Область значений на этом интервале: $(0; +\infty)$. Общая область значений функции является объединением этих двух множеств.
Ответ: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

20.12. Решите графически уравнение:

а) $\operatorname{ctg} x = 1;$

б) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3};$

в) $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

г) $\operatorname{ctg} x = 0.$

а) Для графического решения уравнения $\operatorname{ctg} x = 1$ необходимо найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = 1$.
Построим в одной системе координат график функции $y = \operatorname{ctg} x$ (котангеноиду) и график функции $y = 1$ (горизонтальную прямую).
Графики пересекаются в бесконечном множестве точек. Найдём решение на основном промежутке $(0, \pi)$. Это известное табличное значение: $x = \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Поскольку функция котангенса является периодической с периодом $\pi$, все решения уравнения можно получить, прибавляя к найденному значению целое число периодов. Таким образом, общая формула для всех решений:
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ графически найдём точки пересечения графиков функций $y = \operatorname{ctg} x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Построим котангеноиду $y = \operatorname{ctg} x$ и горизонтальную прямую $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Абсциссы точек их пересечения являются решениями. Найдём решение на промежутке $(0, \pi)$. Это табличное значение: $x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Учитывая, что период функции $y = \operatorname{ctg} x$ равен $\pi$, общее решение уравнения имеет вид:
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Чтобы решить уравнение $\operatorname{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ графически, найдём абсциссы точек пересечения котангеноиды $y = \operatorname{ctg} x$ и горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Прямая $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ проходит ниже оси абсцисс. Найдём решение на промежутке $(0, \pi)$. Так как значение котангенса отрицательно, угол $x$ находится во второй четверти. По определению арккотангенса:
$x = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Все решения, в силу периодичности функции котангенса (период $\pi$), описываются формулой:
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Графическое решение уравнения $\operatorname{ctg} x = 0$ сводится к нахождению точек пересечения графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ с прямой $y = 0$, то есть с осью абсцисс (Ox).
Эти точки пересечения являются корнями функции котангенса. Из графика видно, что котангеноида пересекает ось Ox в точках с абсциссами $\dots, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$.
Найдём решение на промежутке $(0, \pi)$: $x = \frac{\pi}{2}$.
Так как период функции $y = \operatorname{ctg} x$ равен $\pi$, все решения можно обобщить формулой:
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

20.13. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на чётность, если:

а) $f(x) = \text{tg}x - \cos x;$

б) $f(x) = \text{tg}x + x;$

в) $f(x) = \text{ctg}^2 x - x^4;$

г) $f(x) = x^3 - \text{ctg} x.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо проверить её область определения и найти значение $f(-x)$.

Функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если область определения функции несимметрична относительно нуля или не выполняется ни одно из указанных выше равенств, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Вспомогательные свойства: $\cos(-x) = \cos x$ (чётная), $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная), $\ctg(-x) = -\ctg x$ (нечётная), $x^n$ — чётная при чётном $n$ и нечётная при нечётном $n$.

а) $f(x) = \tg x - \cos x$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \tg(-x) - \cos(-x)$
Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, получаем:
$f(-x) = -\tg x - \cos x$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -\tg x - \cos x \neq f(x)$, так как $-\tg x - \cos x \neq \tg x - \cos x$.
$-f(x) = -(\tg x - \cos x) = -\tg x + \cos x$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-\tg x - \cos x \neq -\tg x + \cos x$.
Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

б) $f(x) = \tg x + x$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \tg(-x) + (-x) = -\tg x - x = -(\tg x + x)$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = -(\tg x + x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. Это также следует из того, что функция является суммой двух нечётных функций ($\tg x$ и $x$).

Ответ: функция нечётная.

в) $f(x) = \ctg^2 x - x^4$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \ctg^2(-x) - (-x)^4$
Так как $\ctg(-x) = -\ctg x$, то $\ctg^2(-x) = (-\ctg x)^2 = \ctg^2 x$.
Также $(-x)^4 = x^4$.
Получаем: $f(-x) = \ctg^2 x - x^4$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = \ctg^2 x - x^4 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной. Это также следует из того, что функция является разностью двух чётных функций ($\ctg^2 x$ и $x^4$).

Ответ: функция чётная.

г) $f(x) = x^3 - \ctg x$

1. Область определения функции $D(f)$: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - \ctg(-x) = -x^3 - (-\ctg x) = -x^3 + \ctg x = -(x^3 - \ctg x)$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = -(x^3 - \ctg x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. Это также следует из того, что функция является разностью двух нечётных функций ($x^3$ и $\ctg x$).

Ответ: функция нечётная.