Страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.24. Исследуйте на чётность функцию:

a) $y = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8};$

б) $y = \frac{\arccos x^2}{x^3};$

в) $y = \frac{x^4}{\arccos x};$

г) $y = 2x^3 \arccos x^6.$

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо выполнить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля. То есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является нечётной.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $y = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$

Пусть $f(x) = \arccos x^2 + \frac{\pi}{8}$.

1. Найдём область определения функции. Аргумент арккосинуса должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

$-1 \le x^2 \le 1$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $0 \le x^2 \le 1$. Это неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

Область определения $D(f) = [-1, 1]$ симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \arccos((-x)^2) + \frac{\pi}{8} = \arccos(x^2) + \frac{\pi}{8}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

б) $y = \frac{\arccos x^2}{x^3}$

Пусть $f(x) = \frac{\arccos x^2}{x^3}$.

1. Найдём область определения. Из предыдущего пункта мы знаем, что для $\arccos x^2$ должно выполняться $x \in [-1, 1]$. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Область определения $D(f) = [-1, 0) \cup (0, 1]$ симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\arccos((-x)^2)}{(-x)^3} = \frac{\arccos(x^2)}{-x^3} = -\frac{\arccos(x^2)}{x^3}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

в) $y = \frac{x^4}{\arccos x}$

Пусть $f(x) = \frac{x^4}{\arccos x}$.

1. Найдём область определения. Аргумент арккосинуса $x \in [-1, 1]$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\arccos x \ne 0$.

$\arccos x = 0$ при $x=1$. Следовательно, $x \ne 1$.

Область определения $D(f) = [-1, 1)$. Эта область не является симметричной относительно нуля, так как точка $x = -1$ принадлежит области определения, а точка $x = 1$ — нет.

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

г) $y = 2x^3 \arccos x^6$

Пусть $f(x) = 2x^3 \arccos x^6$.

1. Найдём область определения. Аргумент арккосинуса $x^6$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

$-1 \le x^6 \le 1$.

Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $0 \le x^6 \le 1$. Это неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

Область определения $D(f) = [-1, 1]$ симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x)^3 \arccos((-x)^6) = 2(-x^3) \arccos(x^6) = -2x^3 \arccos(x^6)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

21.25. Постройте график функции:

а) $y = \arccos x;$

б) $y = \arccos (-x);$

В) $y = -\arccos x;$

Г) $y = -\arccos (-x).$

а) $y = \arccos x$

Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$. Для построения ее графика нужно сначала рассмотреть график функции $y = \cos x$ на отрезке $[0, \pi]$, на котором косинус монотонно убывает, а затем отразить этот участок графика симметрично относительно прямой $y = x$.

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• График пересекает ось OY в точке $(0, \pi/2)$, так как $\arccos(0) = \pi/2$.
• Граничные точки графика:
  • При $x = -1$, $y = \arccos(-1) = \pi$. Точка $(-1, \pi)$.
  • При $x = 1$, $y = \arccos(1) = 0$. Точка $(1, 0)$.

Соединив эти точки, получаем гладкую убывающую кривую.

Ответ: График функции $y = \arccos x$ — это убывающая кривая, определенная на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[0, \pi]$. Она проходит через точки $(-1, \pi)$, $(0, \pi/2)$ и $(1, 0)$.

б) $y = \arccos(-x)$

График функции $y = \arccos(-x)$ можно построить, используя преобразование графика базовой функции $y = \arccos x$. Преобразование вида $f(x) \to f(-x)$ соответствует симметричному отражению графика функции относительно оси ординат (оси OY).

Также можно использовать тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$. Это означает, что график можно получить, отразив график $y = \arccos x$ относительно оси OX, а затем сдвинув его на $\pi$ вверх.

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $-1 \le -x \le 1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$. $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
• Функция является возрастающей (так как является композицией убывающей функции $\arccos(u)$ и убывающей функции $u = -x$).
• Отразим ключевые точки графика $y = \arccos x$ относительно оси OY:
  • Точка $(-1, \pi)$ переходит в $(1, \pi)$.
  • Точка $(0, \pi/2)$ остается на месте $(0, \pi/2)$.
  • Точка $(1, 0)$ переходит в $(-1, 0)$.

Соединив новые точки, получаем гладкую возрастающую кривую.

Ответ: График функции $y = \arccos(-x)$ — это возрастающая кривая, полученная отражением графика $y = \arccos x$ относительно оси OY. Она определена на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[0, \pi]$ и проходит через точки $(-1, 0)$, $(0, \pi/2)$ и $(1, \pi)$.

в) $y = -\arccos x$

График функции $y = -\arccos x$ получается из графика $y = \arccos x$ преобразованием вида $f(x) \to -f(x)$. Это соответствует симметричному отражению графика функции относительно оси абсцисс (оси OX).

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: так как $0 \le \arccos x \le \pi$, то $-\pi \le -\arccos x \le 0$. $E(y) = [-\pi, 0]$.
• Функция является возрастающей (так как $y = \arccos x$ — убывающая, а умножение на -1 меняет монотонность на противоположную).
• Отразим ключевые точки графика $y = \arccos x$ относительно оси OX:
  • Точка $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, -\pi)$.
  • Точка $(0, \pi/2)$ переходит в $(0, -\pi/2)$.
  • Точка $(1, 0)$ остается на месте $(1, 0)$.

Соединив эти точки, получаем гладкую возрастающую кривую.

Ответ: График функции $y = -\arccos x$ — это возрастающая кривая, полученная отражением графика $y = \arccos x$ относительно оси OX. Она определена на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[-\pi, 0]$ и проходит через точки $(-1, -\pi)$, $(0, -\pi/2)$ и $(1, 0)$.

г) $y = -\arccos(-x)$

Для построения графика этой функции удобно сначала использовать тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$. Подставим его в исходное уравнение:

$y = -(\pi - \arccos x) = \arccos x - \pi$

Это показывает, что график функции $y = -\arccos(-x)$ можно получить из графика $y = \arccos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OY на $\pi$ единиц вниз.

Альтернативно, график можно получить последовательным отражением графика $y = \arccos x$ сначала относительно оси OY, а затем относительно оси OX, что равносильно центральной симметрии относительно начала координат.

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: так как $0 \le \arccos x \le \pi$, то $0-\pi \le \arccos x - \pi \le \pi-\pi$, то есть $-\pi \le y \le 0$. $E(y) = [-\pi, 0]$.
• Функция является убывающей, так как сдвиг не меняет характер монотонности.
• Сдвинем ключевые точки графика $y = \arccos x$ на $\pi$ вниз:
  • Точка $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, \pi - \pi) = (-1, 0)$.
  • Точка $(0, \pi/2)$ переходит в $(0, \pi/2 - \pi) = (0, -\pi/2)$.
  • Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0 - \pi) = (1, -\pi)$.

Соединив точки, получаем гладкую убывающую кривую.

Ответ: График функции $y = -\arccos(-x)$ — это убывающая кривая, полученная сдвигом графика $y = \arccos x$ на $\pi$ единиц вниз. Она определена на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[-\pi, 0]$ и проходит через точки $(-1, 0)$, $(0, -\pi/2)$ и $(1, -\pi)$.

Постройте и прочитайте график функции:

21.26. а) $y = \arccos(x - 1) - \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \arccos(x + 2) + \frac{\pi}{3}$.

а) $y = \arccos(x - 1) - \frac{\pi}{2}$

Построение графика.
График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \arccos(x)$ путем последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y = \arccos(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Это дает нам график функции $y_1 = \arccos(x-1)$.
2. Сдвиг графика $y_1$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз вдоль оси ординат. В результате получаем искомый график $y = \arccos(x - 1) - \frac{\pi}{2}$.
Ключевые точки графика $y = \arccos(x)$: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$. После преобразований они переходят в точки $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$ и $(2, -\frac{\pi}{2})$ соответственно, которые определяют искомый график.

Чтение графика (свойства функции).
1. Область определения: $D(y) = [0, 2]$. Находится из условия $-1 \le x-1 \le 1$.
2. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Находится из условия $0 \le \arccos(x-1) \le \pi$, из которого следует $-\frac{\pi}{2} \le \arccos(x-1)-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}$.
3. Четность/нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: $y=0$ при $\arccos(x-1) = \frac{\pi}{2}$, что дает $x-1=0$, то есть $x=1$. График пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$.
5. Пересечение с осью Oy: При $x=0$, $y = \arccos(-1) - \frac{\pi}{2} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. График пересекает ось Oy в точке $(0, \frac{\pi}{2})$.
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на промежутке $[0, 1)$; $y < 0$ на промежутке $(1, 2]$.
7. Монотонность: Функция строго убывает на всей области определения $[0, 2]$.
8. Экстремумы: Максимальное значение $y_{max} = \frac{\pi}{2}$ достигается при $x=0$; минимальное значение $y_{min} = -\frac{\pi}{2}$ достигается при $x=2$.

Ответ: График функции получен сдвигом графика $y=\arccos(x)$ на вектор $(1, -\frac{\pi}{2})$. Основные свойства: область определения $D(y)=[0, 2]$, область значений $E(y)=[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, функция убывает на всей области определения, ноль функции при $x=1$.

б) $y = \arccos(x + 2) + \frac{\pi}{3}$

Построение графика.
График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \arccos(x)$ с помощью двух последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y = \arccos(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y_1 = \arccos(x+2)$.
2. Сдвиг полученного графика на $\frac{\pi}{3}$ единиц вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = \arccos(x + 2) + \frac{\pi}{3}$.
Ключевые точки графика $y = \arccos(x)$: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$. После преобразований они переходят в точки $(-3, \frac{4\pi}{3})$, $(-2, \frac{5\pi}{6})$ и $(-1, \frac{\pi}{3})$ соответственно.

Чтение графика (свойства функции).
1. Область определения: $D(y) = [-3, -1]$. Находится из условия $-1 \le x+2 \le 1$.
2. Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$. Находится из условия $0 \le \arccos(x+2) \le \pi$, из которого следует $\frac{\pi}{3} \le \arccos(x+2)+\frac{\pi}{3} \le \pi+\frac{\pi}{3}$.
3. Четность/нечетность: Функция является функцией общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: Уравнение $y=0$ или $\arccos(x+2) = -\frac{\pi}{3}$ не имеет решений, так как область значений арккосинуса $[0, \pi]$. Нулей нет.
5. Пересечение с осями координат: График не пересекает ни ось Ox, ни ось Oy (так как $x=0$ не входит в область определения).
6. Промежутки знакопостоянства: Так как минимальное значение функции $y_{min} = \frac{\pi}{3} > 0$, функция положительна на всей области определения, то есть $y>0$ при $x \in [-3, -1]$.
7. Монотонность: Функция строго убывает на всей области определения $[-3, -1]$.
8. Экстремумы: Максимальное значение $y_{max} = \frac{4\pi}{3}$ достигается при $x=-3$; минимальное значение $y_{min} = \frac{\pi}{3}$ достигается при $x=-1$.

Ответ: График функции получен сдвигом графика $y=\arccos(x)$ на вектор $(-2, \frac{\pi}{3})$. Основные свойства: область определения $D(y)=[-3, -1]$, область значений $E(y)=[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$, функция убывает и положительна на всей области определения.

21.27. a) $y = -3 \arccos x$;

Б) $y = \frac{3\pi}{4} - \arccos x$;

В) $y = \frac{1}{2} \arccos x$;

Г) $y = \frac{2}{3} \arccos (x + 1,5)$.

Для решения данных задач необходимо найти область определения и область значений для каждой функции. В основе лежит знание свойств функции арккосинус: $y = \arccos x$.

• Область определения функции $y = \arccos x$: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений функции $y = \arccos x$: $E(y) = [0, \pi]$.

а) $y = -3 \arccos x$

1. Найдём область определения (D(y)).
Область определения данной функции совпадает с областью определения функции $\arccos x$, так как аргумент у арккосинуса не изменён. Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.
$D(y): -1 \le x \le 1$, то есть $D(y) = [-1, 1]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Мы знаем, что область значений функции $\arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части этого двойного неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$-3 \cdot 0 \ge -3 \cdot \arccos x \ge -3 \cdot \pi$
$0 \ge y \ge -3\pi$
Запишем в стандартном виде:
$-3\pi \le y \le 0$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [-3\pi, 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; Область значений $E(y) = [-3\pi, 0]$.

б) $y = \frac{3\pi}{4} - \arccos x$

1. Найдём область определения (D(y)).
Аргумент функции $\arccos x$ — это $x$. Значит, область определения та же, что и у стандартного арккосинуса.
$D(y) = [-1, 1]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Исходное неравенство для области значений арккосинуса: $0 \le \arccos x \le \pi$.
Сначала умножим на -1, меняя знаки неравенства:
$0 \ge -\arccos x \ge -\pi$, или $-\pi \le -\arccos x \le 0$.
Теперь прибавим ко всем частям неравенства $\frac{3\pi}{4}$:
$\frac{3\pi}{4} - \pi \le \frac{3\pi}{4} - \arccos x \le \frac{3\pi}{4} + 0$
$\frac{3\pi - 4\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$
$-\frac{\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; Область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

в) $y = \frac{1}{2} \arccos x$

1. Найдём область определения (D(y)).
Область определения функции не изменяется, так как аргумент арккосинуса — $x$.
$D(y) = [-1, 1]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Используем известное неравенство: $0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части неравенства на положительное число $\frac{1}{2}$. Знаки неравенства сохраняются.
$\frac{1}{2} \cdot 0 \le \frac{1}{2} \cdot \arccos x \le \frac{1}{2} \cdot \pi$
$0 \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; Область значений $E(y) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

г) $y = \frac{2}{3} \arccos(x + 1,5)$

1. Найдём область определения (D(y)).
Аргумент функции арккосинус, $(x + 1,5)$, должен находиться в пределах от -1 до 1.
$-1 \le x + 1,5 \le 1$
Вычтем 1,5 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$-1 - 1,5 \le x \le 1 - 1,5$
$-2,5 \le x \le -0,5$.
Следовательно, область определения $D(y) = [-2,5; -0,5]$.

2. Найдём область значений (E(y)).
Независимо от своего аргумента (если он находится в допустимой области), функция $\arccos$ возвращает значения в диапазоне $[0, \pi]$.
$0 \le \arccos(x + 1,5) \le \pi$.
Умножим все части неравенства на положительный коэффициент $\frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3} \cdot 0 \le \frac{2}{3} \cdot \arccos(x + 1,5) \le \frac{2}{3} \cdot \pi$
$0 \le y \le \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции $E(y) = [0, \frac{2\pi}{3}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2,5; -0,5]$; Область значений $E(y) = [0, \frac{2\pi}{3}]$.

21.28. a) $y = \arccos(2x);$

Б) $y = \arccos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{5\pi}{6};$

В) $y = -\arccos\left(\frac{x}{3}\right);$

Г) $y = \arccos(2(x - 1)) - \frac{\pi}{2}. $

а) $y = \arccos 2x$

Найдём область определения функции. Аргумент функции арккосинус, в данном случае $2x$, должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим неравенство:
$-1 \le 2x \le 1$
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.
Теперь найдём область значений. Стандартная область значений для функции $t = \arccos(u)$ — это отрезок $[0; \pi]$. В рассматриваемой функции $y = \arccos 2x$ отсутствуют преобразования, которые изменяют значения по оси ординат (вертикальный сдвиг или растяжение), поэтому область значений остаётся стандартной: $E(y) = [0; \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, область значений $E(y) = [0; \pi]$.

б) $y = \arccos\frac{x}{2} - \frac{5\pi}{6}$

Найдём область определения. Аргумент функции арккосинус $\frac{x}{2}$ должен лежать в отрезке $[-1; 1]$:
$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$
Умножим все части неравенства на 2:
$-2 \le x \le 2$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.
Найдём область значений. Область значений для $t = \arccos\frac{x}{2}$ есть отрезок $[0; \pi]$:
$0 \le \arccos\frac{x}{2} \le \pi$
Функция $y$ получается путём вычитания константы $\frac{5\pi}{6}$ из $\arccos\frac{x}{2}$. Применим это преобразование ко всем частям неравенства:
$0 - \frac{5\pi}{6} \le \arccos\frac{x}{2} - \frac{5\pi}{6} \le \pi - \frac{5\pi}{6}$
$-\frac{5\pi}{6} \le y \le \frac{6\pi - 5\pi}{6}$
$-\frac{5\pi}{6} \le y \le \frac{\pi}{6}$
Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 2]$, область значений $E(y) = [-\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$.

в) $y = -\arccos\frac{x}{3}$

Найдём область определения. Аргумент функции арккосинус $\frac{x}{3}$ должен лежать в отрезке $[-1; 1]$:
$-1 \le \frac{x}{3} \le 1$
Умножим все части неравенства на 3:
$-3 \le x \le 3$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-3; 3]$.
Найдём область значений. Область значений для $t = \arccos\frac{x}{3}$ есть отрезок $[0; \pi]$:
$0 \le \arccos\frac{x}{3} \le \pi$
Функция $y$ получается умножением $\arccos\frac{x}{3}$ на -1. Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$0 \ge -\arccos\frac{x}{3} \ge -\pi$
$0 \ge y \ge -\pi$
Записав в стандартном виде, получим:
$-\pi \le y \le 0$
Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\pi; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 3]$, область значений $E(y) = [-\pi; 0]$.

г) $y = \arccos(2(x - 1)) - \frac{\pi}{2}$

Найдём область определения. Аргумент функции арккосинус $2(x - 1)$ должен лежать в отрезке $[-1; 1]$:
$-1 \le 2(x - 1) \le 1$
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{1}{2} \le x - 1 \le \frac{1}{2}$
Прибавим ко всем частям 1:
$1 - \frac{1}{2} \le x \le 1 + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.
Найдём область значений. Область значений для $t = \arccos(2(x-1))$ есть отрезок $[0; \pi]$:
$0 \le \arccos(2(x-1)) \le \pi$
Чтобы получить значения $y$, вычтем $\frac{\pi}{2}$ из каждой части неравенства:
$0 - \frac{\pi}{2} \le \arccos(2(x-1)) - \frac{\pi}{2} \le \pi - \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$
Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

21.29. а) $y = \begin{cases} \pi, & \text{если } x < -1 \\ \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ \sqrt{x - 1}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 0,5 \\ \frac{\pi}{3}, & \text{если } 0,5 < x \le \frac{\pi}{3} \\ x, & \text{если } \frac{\pi}{3} < x \le 3 \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} \pi, & \text{если } x < -1, \\ \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 1, \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Для исследования функции на непрерывность необходимо проверить точки, в которых меняется ее аналитическое выражение. Такими точками являются $x = -1$ и $x = 1$.

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть должны выполняться три условия:

1. Функция определена в точке $x_0$ (существует $y(x_0)$).
2. Существует предел $\lim_{x \to x_0} y(x)$, что означает равенство односторонних пределов: $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x)$.
3. Предел равен значению функции: $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$.

Проверка в точке $x = -1$:

1. Найдем значение функции в этой точке. При $x = -1$ используется вторая формула: $y(-1) = \arccos(-1) = \pi$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -1^-$). Для $x < -1$ используется первая формула: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \pi = \pi$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -1^+$). Для $x > -1$ используется вторая формула: $\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} \arccos x = \arccos(-1) = \pi$.

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x = -1$ равны между собой ($\pi = \pi = \pi$), функция непрерывна в этой точке.

Проверка в точке $x = 1$:

1. Найдем значение функции в этой точке. При $x = 1$ используется вторая формула: $y(1) = \arccos(1) = 0$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to 1^-$). Для $x < 1$ используется вторая формула: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} \arccos x = \arccos(1) = 0$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to 1^+$). Для $x > 1$ используется третья формула: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x-1} = \sqrt{1-1} = 0$.

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x = 1$ равны между собой ($0 = 0 = 0$), функция непрерывна в этой точке.

На каждом из интервалов $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$ функция задана элементарными функциями ($\pi$, $\arccos x$, $\sqrt{x-1}$), которые непрерывны на своих областях определения. Поскольку функция также непрерывна в точках стыка, она непрерывна на всей своей области определения, то есть для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$).

Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 0,5, \\ \frac{\pi}{3}, & \text{если } 0,5 < x \le \frac{\pi}{3}, \\ x, & \text{если } \frac{\pi}{3} < x \le 3. \end{cases}$

Область определения функции: $D(y) = [-1, 3]$.

Исследуем функцию на непрерывность в точках "стыка", где меняется ее формула: $x = 0,5$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Проверка в точке $x = 0,5$:

1. Значение функции в точке: $y(0,5) = \arccos(0,5) = \frac{\pi}{3}$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0,5^-$): $\lim_{x \to 0,5^-} y(x) = \lim_{x \to 0,5^-} \arccos x = \arccos(0,5) = \frac{\pi}{3}$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0,5^+$): $\lim_{x \to 0,5^+} y(x) = \lim_{x \to 0,5^+} \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку $\lim_{x \to 0,5^-} y(x) = \lim_{x \to 0,5^+} y(x) = y(0,5) = \frac{\pi}{3}$, функция непрерывна в точке $x = 0,5$.

Проверка в точке $x = \frac{\pi}{3}$:

1. Значение функции в точке (используется вторая формула): $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

2. Левосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{3})^-$): $\lim_{x \to (\pi/3)^-} y(x) = \lim_{x \to (\pi/3)^-} \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

3. Правосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{3})^+$): $\lim_{x \to (\pi/3)^+} y(x) = \lim_{x \to (\pi/3)^+} x = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку $\lim_{x \to (\pi/3)^-} y(x) = \lim_{x \to (\pi/3)^+} y(x) = y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$, функция непрерывна в точке $x = \frac{\pi}{3}$.

Все "куски" функции являются элементарными и непрерывны на своих интервалах. Так как в точках стыка функция также непрерывна, она непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Функция непрерывна на всей своей области определения $x \in [-1, 3]$.

21.30. Постройте график функции:

а) $y = \left|\arccos x - \frac{2\pi}{3}\right|$;

б) $y = \arccos|x|$;

в) $y = -2 \arccos|x|$;

г) $y = \arccos|x - 2|$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать метод преобразований, исходя из графика базовой функции $y = \arccos x$.

Напомним основные свойства функции $y = \arccos x$:

• Область определения: $D(y) = [-1; 1]$.
• Область значений: $E(y) = [0; \pi]$.
• Ключевые точки: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.
• Функция является убывающей на всей области определения.

а) $y = \left|\arccos x - \frac{2\pi}{3}\right|$

Построение графика выполним в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y_1 = \arccos x$.
2. Выполняем преобразование $y_2 = \arccos x - \frac{2\pi}{3}$. Это сдвиг графика $y_1$ вдоль оси ординат (Oy) на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вниз.
   • Область определения не меняется: $D(y_2) = [-1; 1]$.
   • Область значений сдвигается: $E(y_2) = [0 - \frac{2\pi}{3}; \pi - \frac{2\pi}{3}] = [-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
   • Ключевые точки смещаются:
     • $(-1, \pi) \rightarrow (-1, \pi - \frac{2\pi}{3}) = (-1, \frac{\pi}{3})$.
     • $(1, 0) \rightarrow (1, 0 - \frac{2\pi}{3}) = (1, -\frac{2\pi}{3})$.
   • Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox): $y_2 = 0 \Rightarrow \arccos x = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. Точка пересечения: $(-\frac{1}{2}, 0)$.
3. Выполняем преобразование $y = |y_2| = \left|\arccos x - \frac{2\pi}{3}\right|$. Это преобразование модуля: часть графика $y_2$, которая лежит ниже оси Ox (где $y_2 < 0$), симметрично отражается относительно этой оси вверх. Часть графика, которая лежит выше оси Ox, остается без изменений.
   • Часть графика на отрезке $x \in [-1; -\frac{1}{2}]$ (где $y_2 \ge 0$) остается неизменной.
   • Часть графика на отрезке $x \in [-\frac{1}{2}; 1]$ (где $y_2 \le 0$) отражается симметрично относительно оси Ox.
   • Ключевые точки итогового графика:
     • $(-1, \frac{\pi}{3})$ — остается на месте.
     • $(-\frac{1}{2}, 0)$ — точка излома, остается на месте.
     • $(1, -\frac{2\pi}{3}) \rightarrow (1, |-\frac{2\pi}{3}|) = (1, \frac{2\pi}{3})$.
   • Область определения остается $D(y) = [-1; 1]$.
   • Область значений: $E(y) = [0; \frac{2\pi}{3}]$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \arccos x$ сдвигом вниз на $\frac{2\pi}{3}$ и последующим отражением отрицательной части относительно оси Ox. График имеет область определения $[-1; 1]$ и область значений $[0; \frac{2\pi}{3}]$. Ключевые точки: $(-1, \frac{\pi}{3})$, $(-\frac{1}{2}, 0)$ (точка минимума), $(1, \frac{2\pi}{3})$ (точка максимума).

б) $y = \arccos|x|$

Построение графика основано на преобразовании $f(x) \rightarrow f(|x|)$.

1. Находим область определения: $|x| \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$. Таким образом, $D(y) = [-1; 1]$.
2. Данная функция является четной, так как $y(-x) = \arccos|-x| = \arccos|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
3. Для построения графика можно выполнить следующие шаги:
   • Строим график функции $y_1 = \arccos x$ для $x \ge 0$. Эта часть графика проходит через точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(1, 0)$.
   • Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.
4. Итоговый график состоит из двух частей: $y = \arccos x$ при $x \in [0; 1]$ и $y = \arccos(-x)$ при $x \in [-1; 0)$.
   • Ключевые точки:
     • При $x=1$, $y = \arccos(1) = 0$. Точка $(1, 0)$.
     • При $x=0$, $y = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, \frac{\pi}{2})$.
     • При $x=-1$, $y = \arccos(|-1|) = \arccos(1) = 0$. Точка $(-1, 0)$.
   • Область значений: так как $|x|$ принимает значения от 0 до 1, то $\arccos|x|$ принимает значения от $\arccos(1)$ до $\arccos(0)$. Следовательно, $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он совпадает с графиком $y = \arccos x$ для $x \ge 0$ и является его зеркальным отражением относительно оси Oy для $x < 0$. Область определения $D(y) = [-1; 1]$, область значений $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(-1, 0)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.

в) $y = -2\arccos|x|$

Построение этого графика выполним, используя график функции $y_1 = \arccos|x|$ из предыдущего пункта.

1. Берем за основу график функции $y_1 = \arccos|x|$. Его свойства: $D(y_1) = [-1; 1]$, $E(y_1) = [0; \frac{\pi}{2}]$, ключевые точки $(-1, 0), (0, \frac{\pi}{2}), (1, 0)$.
2. Выполняем преобразование $y_2 = 2y_1 = 2\arccos|x|$. Это растяжение графика $y_1$ вдоль оси Oy в 2 раза.
   • Область значений становится $E(y_2) = [0 \cdot 2; \frac{\pi}{2} \cdot 2] = [0; \pi]$.
   • Ключевые точки: $(-1, 0)$, $(0, \pi)$, $(1, 0)$.
3. Выполняем преобразование $y = -y_2 = -2\arccos|x|$. Это симметричное отражение графика $y_2$ относительно оси абсцисс (Ox).
   • Область определения не меняется: $D(y) = [-1; 1]$.
   • Область значений становится $E(y) = [-\pi; 0]$.
   • Ключевые точки после отражения:
     • $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте.
     • $(0, \pi) \rightarrow (0, -\pi)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \arccos|x|$ (см. пункт б) растяжением в 2 раза вдоль оси Oy и последующим отражением относительно оси Ox. График симметричен относительно оси Oy. Область определения $D(y) = [-1; 1]$, область значений $E(y) = [-\pi; 0]$. Ключевые точки: $(-1, 0)$, $(0, -\pi)$, $(1, 0)$.

г) $y = \arccos|x - 2|$

Построение этого графика выполним, используя график функции $y_1 = \arccos|x|$ из пункта б) и применяя преобразование сдвига.

1. Берем за основу график функции $y_1 = \arccos|x|$.
2. Выполняем преобразование $y = y_1(x-2) = \arccos|x-2|$. Это сдвиг графика $y_1$ вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы вправо.
   • Ось симметрии графика смещается из $x=0$ в $x=2$.
   • Область определения находим из условия $|x-2| \le 1 \Rightarrow -1 \le x-2 \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 3$. Итак, $D(y) = [1; 3]$.
   • Область значений не меняется: $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$.
   • Ключевые точки смещаются на 2 вправо:
     • $(-1, 0) \rightarrow (-1+2, 0) = (1, 0)$.
     • $(0, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0+2, \frac{\pi}{2}) = (2, \frac{\pi}{2})$.
     • $(1, 0) \rightarrow (1+2, 0) = (3, 0)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \arccos|x|$ (см. пункт б) сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. График симметричен относительно прямой $x=2$. Область определения $D(y) = [1; 3]$, область значений $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(1, 0)$, $(2, \frac{\pi}{2})$, $(3, 0)$.