Страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

21.51. а) $y = \arccos x + \arccos (-x);$

б) $y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos \left(-\frac{1}{x}\right);$

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x);$

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}).$

а) $y = \arccos x + \arccos(-x)$

1. Найдём область определения функции.

Область определения функции арккосинус $D(\arccos t)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для данной функции должны одновременно выполняться два условия: $x \in [-1, 1]$ и $-x \in [-1, 1]$. Второе условие $-1 \le -x \le 1$ равносильно $1 \ge x \ge -1$, то есть $x \in [-1, 1]$. Таким образом, область определения исходной функции $D(y) = [-1, 1]$.

2. Упростим выражение.

Воспользуемся известным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$. Применим это тождество к нашей функции:

$y = \arccos x + (\pi - \arccos x) = \pi$

3. Построим график.

Мы получили, что для всех $x$ из области определения $D(y) = [-1, 1]$, значение функции постоянно и равно $\pi$. Следовательно, графиком функции является отрезок прямой $y=\pi$, концы которого находятся в точках с абсциссами $x=-1$ и $x=1$. Точки $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$ принадлежат графику.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=\pi$, заключенный между точками $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$, включая концы.

б) $y = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right)$

1. Найдём область определения функции.

Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться условие $-1 \le \frac{1}{x} \le 1$. Это неравенство эквивалентно $|\frac{1}{x}| \le 1$, что, в свою очередь, равносильно $|x| \ge 1$ (при $x \ne 0$). Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Упростим выражение.

Как и в предыдущем пункте, используем тождество $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$. Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда:

$y = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + \left(\pi - \arccos\left(\frac{1}{x}\right)\right) = \pi$

3. Построим график.

Функция принимает постоянное значение $y=\pi$ на всей своей области определения. Графиком функции являются два луча прямой $y=\pi$. Первый луч начинается в точке $(1, \pi)$ и идет вправо. Второй луч начинается в точке $(-1, \pi)$ и идет влево. Точки $(1, \pi)$ и $(-1, \pi)$ принадлежат графику.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: один луч выходит из точки $(1, \pi)$ и идет вправо вдоль прямой $y=\pi$; второй луч выходит из точки $(-1, \pi)$ и идет влево вдоль прямой $y=\pi$. Точки $(1, \pi)$ и $(-1, \pi)$ принадлежат графику.

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x)$

1. Найдём область определения функции.

Область определения функции арккотангенс $D(\operatorname{arcctg} t)$ — это все действительные числа, $(-\infty, \infty)$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = (-\infty, \infty)$.

2. Упростим выражение.

Воспользуемся тождеством для арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-t) = \pi - \operatorname{arcctg}(t)$. (Данное тождество справедливо для стандартного определения арккотангенса с областью значений $(0, \pi)$).

$y = \operatorname{arcctg} x + (\pi - \operatorname{arcctg} x) = \pi$

3. Построим график.

Функция постоянна на всей числовой прямой и равна $\pi$. Графиком является горизонтальная прямая $y=\pi$.

Ответ: График функции — это прямая $y=\pi$.

г) $y = \operatorname{arcctg}\sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})$

1. Найдём область определения функции.

Для существования функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x \ge 0$. Область определения арккотангенса — все действительные числа, поэтому для $\sqrt{x}$ и $-\sqrt{x}$ арккотангенс всегда определён. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Упростим выражение.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Функция примет вид $y = \operatorname{arcctg}(t) + \operatorname{arcctg}(-t)$. Используя тождество из предыдущего пункта, $\operatorname{arcctg}(-t) = \pi - \operatorname{arcctg}(t)$, получаем:

$y = \operatorname{arcctg}(\sqrt{x}) + (\pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{x})) = \pi$

3. Построим график.

На всей своей области определения $[0, \infty)$ функция принимает постоянное значение $y=\pi$. Графиком функции является луч, выходящий из точки $(0, \pi)$ и направленный вправо вдоль прямой $y=\pi$. Точка $(0, \pi)$ принадлежит графику.

Ответ: График функции — это луч, выходящий из точки $(0, \pi)$ и идущий вправо вдоль прямой $y=\pi$. Точка $(0, \pi)$ принадлежит графику.

21.52. a) $y = \sin (\arccos x);$

б) $y = \text{tg} (\text{arcctg} x);$

В) $y = \cos (\arcsin x);$

Г) $y = \text{ctg} (\text{arctg} x).$

a) Рассмотрим функцию $y = \sin(\operatorname{arccos} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arccos} x$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$.

Нам необходимо найти $\sin(\alpha)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Из этого тождества выразим $\sin^2(\alpha)$: $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. Подставим известное значение $\cos(\alpha) = x$ и получим: $\sin^2(\alpha) = 1 - x^2$.

Отсюда следует, что $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Чтобы определить правильный знак, обратимся к области значений арккосинуса: $\alpha \in [0, \pi]$. В этом интервале синус является неотрицательной функцией, то есть $\sin(\alpha) \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак «+».

Таким образом, получаем, что $y = \sin(\operatorname{arccos} x) = \sqrt{1-x^2}$.

Область определения функции $\operatorname{arccos} x$ — это отрезок $x \in [-1, 1]$, что совпадает с областью определения выражения $\sqrt{1-x^2}$.

Ответ: $y = \sqrt{1-x^2}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg}(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $(0, \pi)$.

Нам необходимо найти $\operatorname{tg}(\alpha)$. Воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же угла: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\alpha)}$.

Подставим $\operatorname{ctg}(\alpha) = x$ в это тождество: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{x}$.

Таким образом, $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{x}$.

Необходимо учесть область определения. Функция $\operatorname{tg}(\alpha)$ не определена, когда ее аргумент $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. В интервале $(0, \pi)$ это происходит при $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Найдем, какому значению $x$ это соответствует: $x = \operatorname{ctg}(\alpha) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Следовательно, исходная функция не определена при $x=0$. Область определения полученной функции $y = \frac{1}{x}$ также исключает точку $x=0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos(\operatorname{arcsin} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arcsin} x$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Нам необходимо найти $\cos(\alpha)$. Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $\cos^2(\alpha)$: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$. Подставив $\sin(\alpha) = x$, получим: $\cos^2(\alpha) = 1 - x^2$.

Отсюда следует, что $\cos(\alpha) = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Чтобы определить правильный знак, обратимся к области значений арксинуса: $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале косинус является неотрицательной функцией, то есть $\cos(\alpha) \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак «+».

Таким образом, получаем, что $y = \cos(\operatorname{arcsin} x) = \sqrt{1-x^2}$.

Область определения функции $\operatorname{arcsin} x$ — это отрезок $x \in [-1, 1]$, что совпадает с областью определения выражения $\sqrt{1-x^2}$.

Ответ: $y = \sqrt{1-x^2}$.

г) Рассмотрим функцию $y = \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg}(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Нам необходимо найти $\operatorname{ctg}(\alpha)$. Воспользуемся тождеством $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)}$.

Подставим $\operatorname{tg}(\alpha) = x$ в это тождество: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{x}$.

Таким образом, $y = \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{x}$.

Рассмотрим область определения. Функция $\operatorname{ctg}(\alpha)$ не определена, когда ее аргумент $\alpha = \pi k$ для любого целого $k$. В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ это происходит при $\alpha = 0$. Найдем, какому значению $x$ это соответствует: $x = \operatorname{tg}(\alpha) = \operatorname{tg}(0) = 0$. Следовательно, исходная функция не определена при $x=0$. Область определения полученной функции $y = \frac{1}{x}$ также исключает точку $x=0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

21.53. а) $y = \arccos(\cos x)$;

б) $y = \arctan(\tan x)$.

a) $y = \arccos(\cos x)$

Рассмотрим функцию $y = \arccos(\cos x)$. Это композиция двух функций: внешней $f(t) = \arccos(t)$ и внутренней $g(x) = \cos x$.

1. Область определения и область значений.
Функция $\cos x$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Ее область значений — отрезок $[-1, 1]$.
Функция $\arccos(t)$ определена для $t \in [-1, 1]$. Ее область значений — отрезок $[0, \pi]$.
Поскольку область значений внутренней функции $\cos x$ полностью входит в область определения внешней функции $\arccos(t)$, то композиция $y = \arccos(\cos x)$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений итоговой функции совпадает с областью значений арккосинуса, то есть $y \in [0, \pi]$.

2. Упрощение выражения.
По определению, $\arccos(t)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $t$. То есть $y = \arccos(\cos x)$ — это такое число $y \in [0, \pi]$, для которого выполняется равенство $\cos(y) = \cos(x)$.
Тождество $\arccos(\cos x) = x$ верно только в том случае, когда $x$ принадлежит области значений арккосинуса, то есть при $x \in [0, \pi]$.

3. Анализ функции с учетом свойств косинуса.
Функция $\cos x$ является четной ($\cos(-x) = \cos x$) и периодической с периодом $2\pi$ ($\cos(x+2\pi k) = \cos x$ для любого целого $k$). Следовательно, функция $y = \arccos(\cos x)$ также является периодической с периодом $2\pi$. Для построения ее графика достаточно проанализировать поведение на любом отрезке длиной $2\pi$, например на $[0, 2\pi]$.
- При $x \in [0, \pi]$, как было сказано, $y = x$.
- При $x \in (\pi, 2\pi]$, воспользуемся формулой приведения $\cos x = \cos(2\pi - x)$. Заметим, что если $x \in (\pi, 2\pi]$, то $2\pi - x \in [0, \pi)$. Таким образом, мы можем "вернуть" аргумент в основной промежуток $[0, \pi]$.
$y = \arccos(\cos x) = \arccos(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$.
Итак, на основном периоде $[0, 2\pi]$ функция задается двумя линейными участками. Ее график представляет собой "треугольную" волну.

Ответ: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$, является периодической с периодом $2\pi$, ее область значений — $[0, \pi]$. В общем виде, для любого целого $k \in \mathbb{Z}$:
- если $x \in [2k\pi, (2k+1)\pi]$, то $y = x - 2k\pi$;
- если $x \in [(2k-1)\pi, 2k\pi]$, то $y = 2k\pi - x$.

б) $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$. Это композиция двух функций: внешней $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$ и внутренней $g(x) = \operatorname{tg} x$.

1. Область определения и область значений.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ее область значений — вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.
Функция $\operatorname{arctg}(t)$ определена для всех $t \in \mathbb{R}$. Ее область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, область определения композиции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ совпадает с областью определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений итоговой функции совпадает с областью значений арктангенса, то есть $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Упрощение выражения.
По определению, $\operatorname{arctg}(t)$ — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $t$. То есть $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ — это такое число $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, для которого выполняется равенство $\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(x)$.
Тождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$ верно только в том случае, когда $x$ принадлежит области значений арктангенса, то есть при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

3. Анализ функции с учетом свойств тангенса.
Функция $\operatorname{tg} x$ является периодической с периодом $\pi$ ($\operatorname{tg}(x+\pi k) = \operatorname{tg} x$ для любого целого $k$). Следовательно, функция $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ также является периодической с периодом $\pi$.
Рассмотрим произвольный интервал определения $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Если $x$ принадлежит такому интервалу, то $x - k\pi$ принадлежит основному интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используя периодичность тангенса, получаем:
$y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x-k\pi))$.
Так как $x-k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x-k\pi)) = x - k\pi$.
Таким образом, для $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ имеем $y = x - k\pi$.

4. Обобщение.
График функции состоит из бесконечного набора параллельных отрезков прямых $y=x-k\pi$, каждый из которых определен на интервале $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена и имеет разрывы.

Ответ: Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция является периодической с периодом $\pi$. Область значений: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На каждом интервале $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ для целого $k$ функция задается формулой $y = x - k\pi$.

Решите уравнение:

21.54. а) $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{3} $

б) $ \operatorname{arctg} (4x + 1) = \frac{7\pi}{12} $

в) $ \arccos (3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3} $

г) $ \operatorname{arcctg} (4x + 1) = \frac{3\pi}{4} $

а) $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{3} $

По определению арксинуса, если $ \arcsin a = b $, то $ \sin b = a $. При этом значение $ b $ (значение арксинуса) должно принадлежать отрезку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.

В данном уравнении значение $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит этому отрезку, так как $ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} $. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение арксинуса к уравнению:

$ 2x = \sin\frac{\pi}{3} $

Известно, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим это значение в уравнение:

$ 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь решим уравнение относительно $ x $:

$ x = \frac{\sqrt{3}}{2} \div 2 $

$ x = \frac{\sqrt{3}}{4} $

Также необходимо, чтобы аргумент арксинуса, $ 2x $, находился в пределах от -1 до 1. Проверим: $ 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $. Это значение входит в отрезок $ [-1, 1] $, поэтому найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $ x = \frac{\sqrt{3}}{4} $

б) $ \operatorname{arctg}(4x + 1) = \frac{7\pi}{12} $

Область значений функции арктангенс, $ y = \operatorname{arctg}(x) $, есть интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Сравним значение $ \frac{7\pi}{12} $, стоящее в правой части уравнения, с границами этого интервала.
Для этого приведем $ \frac{\pi}{2} $ к знаменателю 12: $ \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12} $.
Так как $ \frac{7\pi}{12} > \frac{6\pi}{12} $, то значение $ \frac{7\pi}{12} $ не принадлежит области значений функции арктангенс.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) $ \arccos(3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3} $

По определению арккосинуса, если $ \arccos a = b $, то $ \cos b = a $. При этом значение $ b $ (значение арккосинуса) должно принадлежать отрезку $ [0, \pi] $.

В данном уравнении значение $ \frac{2\pi}{3} $ принадлежит этому отрезку, так как $ 0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi $. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение арккосинуса:

$ 3x - 3,5 = \cos\frac{2\pi}{3} $

Известно, что $ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} = -0,5 $.

Подставим это значение в уравнение:

$ 3x - 3,5 = -0,5 $

Теперь решим уравнение относительно $ x $:

$ 3x = -0,5 + 3,5 $

$ 3x = 3 $

$ x = 1 $

Аргумент арккосинуса, $ 3x - 3,5 $, должен находиться в пределах от -1 до 1. Проверим: подставим $ x=1 $ в выражение $ 3x-3,5 $. Получим $ 3(1) - 3,5 = 3 - 3,5 = -0,5 $. Это значение входит в отрезок $ [-1, 1] $, значит, корень найден верно.

Ответ: $ x = 1 $

г) $ \operatorname{arcctg}(4x + 1) = \frac{3\pi}{4} $

По определению арккотангенса, если $ \operatorname{arcctg} a = b $, то $ \operatorname{ctg} b = a $. При этом значение $ b $ (значение арккотангенса) должно принадлежать интервалу $ (0, \pi) $.

В данном уравнении значение $ \frac{3\pi}{4} $ принадлежит этому интервалу, так как $ 0 < \frac{3\pi}{4} < \pi $. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение арккотангенса:

$ 4x + 1 = \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} $

Известно, что $ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = -1 $.

Подставим это значение в уравнение:

$ 4x + 1 = -1 $

Теперь решим уравнение относительно $ x $:

$ 4x = -1 - 1 $

$ 4x = -2 $

$ x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $

Область определения функции арккотангенс - все действительные числа, поэтому для аргумента $ 4x+1 $ нет ограничений.

Ответ: $ x = -\frac{1}{2} $

21.55. a) $\arcsin (3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$;

б) $\operatorname{arctg} (x^3 - 27 - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$;

в) $\arccos (3x^2 - 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$;

г) $\operatorname{arcctg} (x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$.

а) $\arcsin(3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом область значений арксинуса $b \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а область определения $a \in [-1, 1]$.

В данном случае $b = \frac{\pi}{2}$ входит в область значений арксинуса. Применим определение:

$3x^2 - 5x + 1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем уравнение:

$3x^2 - 5x + 1 = 1$

$3x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x - 5) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$3x - 5 = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3}$

Оба корня являются решением, так как при их подстановке аргумент арксинуса равен 1, что входит в область определения $[-1, 1]$.

Ответ: $0; \frac{5}{3}$.

б) $\operatorname{arctg}(x^3 - 27 - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

По определению арктангенса, если $\operatorname{arctg}(a) = b$, то $a = \tan(b)$. Область значений арктангенса $b \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

В данном случае $b = -\frac{\pi}{3}$ входит в область значений. Применим определение:

$x^3 - 27 - \sqrt{3} = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Так как $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$, получаем:

$x^3 - 27 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$

$x^3 - 27 = 0$

$x^3 = 27$

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

в) $\arccos(3x^2 - 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$

По определению арккосинуса, если $\arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$. При этом область значений арккосинуса $b \in [0, \pi]$, а область определения $a \in [-1, 1]$.

В данном случае $b = \frac{2\pi}{3}$ входит в область значений. Применим определение:

$3x^2 - 10x + 2,5 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -0,5$, получаем уравнение:

$3x^2 - 10x + 2,5 = -0,5$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$x_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня являются решением, так как при их подстановке аргумент арккосинуса равен -0,5, что входит в область определения $[-1, 1]$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

г) $\operatorname{arcctg}(x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$

По определению арккотангенса, если $\operatorname{arcctg}(a) = b$, то $a = \operatorname{ctg}(b)$. Область значений арккотангенса $b \in (0, \pi)$.

В данном случае $b = \frac{\pi}{4}$ входит в область значений. Применим определение:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем уравнение:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = 1$

$x^3 - 8x^2 + 15x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - 8x + 15) = 0$

Получаем один корень $x_1 = 0$ и квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Подбором находим корни:

$x_2 = 3$ и $x_3 = 5$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 3; 5$.

21.56. a) $ \arcsin \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \right) - \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0; $

б) $ \arccos \left( \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \right) + \operatorname{arctg} \sqrt{2x - 1} - \frac{7\pi}{6} = 0. $

а) $ \arcsin(\tg\frac{\pi}{4}) - \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0 $

Решим данное уравнение. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент арксинуса должен находиться в промежутке $[-1, 1]$, а выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$ \begin{cases} \frac{3}{x} \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{\frac{3}{x}} \le 1 \end{cases} $
Из первого неравенства $ \frac{3}{x} \ge 0 $ следует, что $ x > 0 $.
Так как квадратный корень всегда неотрицателен, второе неравенство можно переписать как $ 0 \le \sqrt{\frac{3}{x}} \le 1 $.
Возведем в квадрат обе части неравенства: $ 0 \le \frac{3}{x} \le 1 $.
Так как $ x > 0 $, мы можем умножить на $x$, не меняя знака неравенства: $ 3 \le x $.
Таким образом, ОДЗ: $ x \ge 3 $.

Теперь приступим к решению уравнения.
Вычислим известные значения. Тангенс угла $ \frac{\pi}{4} $ равен 1:
$ \tg\frac{\pi}{4} = 1 $
Следовательно, $ \arcsin(\tg\frac{\pi}{4}) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} $.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$ \frac{\pi}{2} - \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0 $
Выразим $ \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} $:
$ \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} $
$ \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $
Значение $ \frac{\pi}{3} $ входит в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому решение существует. Применим синус к обеим частям уравнения:
$ \sin(\arcsin\sqrt{\frac{3}{x}}) = \sin(\frac{\pi}{3}) $
$ \sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$ (\sqrt{\frac{3}{x}})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 $
$ \frac{3}{x} = \frac{3}{4} $
Отсюда находим $ x $:
$ x = 4 $
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 4 \ge 3 $, корень подходит.

Ответ: $ x = 4 $.

б) $ \arccos(\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}) + \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} - \frac{7\pi}{6} = 0 $

Решим данное уравнение. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$ 2x-1 \ge 0 $
$ 2x \ge 1 $
$ x \ge \frac{1}{2} $
ОДЗ: $ x \ge \frac{1}{2} $. Аргументом арктангенса может быть любое действительное число, поэтому других ограничений нет.

Теперь решаем уравнение.
Вычислим известные значения. Котангенс угла $ \frac{3\pi}{4} $ равен -1:
$ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = -1 $.
Следовательно, $ \arccos(\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}) = \arccos(-1) = \pi $.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$ \pi + \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} - \frac{7\pi}{6} = 0 $
Выразим $ \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} $:
$ \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} = \frac{7\pi}{6} - \pi $
$ \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} = \frac{7\pi - 6\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $
Значение $ \frac{\pi}{6} $ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому решение существует. Применим тангенс к обеим частям уравнения:
$ \tan(\operatorname{arctg}\sqrt{2x-1}) = \tan(\frac{\pi}{6}) $
$ \sqrt{2x-1} = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Возведем обе части в квадрат:
$ (\sqrt{2x-1})^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 $
$ 2x-1 = \frac{1}{3} $
$ 2x = 1 + \frac{1}{3} $
$ 2x = \frac{4}{3} $
$ x = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $ \frac{2}{3} \ge \frac{1}{2} $ (что верно, поскольку $ \frac{4}{6} \ge \frac{3}{6} $), корень подходит.

Ответ: $ x = \frac{2}{3} $.

21.57. а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x = \pi^2;$

б) $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x = \pi^2;$

в) $18 \arccos^2 x = 3\pi \arccos x + \pi^2;$

г) $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 = 16\pi \operatorname{arcctg} x.$

а) Данное уравнение $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x = \pi^2$ является квадратным относительно $\arcsin x$.
Перенесем все члены в левую часть: $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x - \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arcsin x$. Область значений арксинуса: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$, следовательно, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Получаем квадратное уравнение: $8t^2 + 2\pi t - \pi^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (2\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2 = (6\pi)^2$.
Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{-2\pi + 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$.
$t_2 = \frac{-2\pi - 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2}$.
Оба корня принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому оба являются решениями.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\arcsin x = \frac{\pi}{4} \implies x = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2) $\arcsin x = -\frac{\pi}{2} \implies x = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_2 = -1$.

б) Данное уравнение $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x = \pi^2$ является квадратным относительно $\operatorname{arctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть: $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x - \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arctg} x$. Область значений арктангенса: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$, следовательно, $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Получаем квадратное уравнение: $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2 = (9\pi)^2$.
Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$.
$t_2 = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$.
Оба корня принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому оба являются решениями.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{3} \implies x = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
2) $\operatorname{arctg} x = -\frac{\pi}{6} \implies x = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Данное уравнение $18 \arccos^2 x = 3\pi \arccos x + \pi^2$ является квадратным относительно $\arccos x$.
Перенесем все члены в левую часть: $18 \arccos^2 x - 3\pi \arccos x - \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arccos x$. Область значений арккосинуса: $0 \le \arccos x \le \pi$, следовательно, $t \in [0, \pi]$.
Получаем квадратное уравнение: $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.
Это уравнение мы уже решали в пункте б). Его корни: $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{6}$.
Проверим, принадлежат ли корни отрезку $[0, \pi]$.
$t_1 = \frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
$t_2 = -\frac{\pi}{6}$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, поэтому это посторонний корень.
Вернемся к исходной переменной с единственным подходящим корнем:
$\arccos x = \frac{\pi}{3} \implies x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) Данное уравнение $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 = 16\pi \operatorname{arcctg} x$ является квадратным относительно $\operatorname{arcctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть: $16 \operatorname{arcctg}^2 x - 16\pi \operatorname{arcctg} x + 3\pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arcctg} x$. Область значений арккотангенса: $0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$, следовательно, $t \in (0, \pi)$.
Получаем квадратное уравнение: $16t^2 - 16\pi t + 3\pi^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-16\pi)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (3\pi^2) = 256\pi^2 - 192\pi^2 = 64\pi^2 = (8\pi)^2$.
Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{16\pi + 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$.
$t_2 = \frac{16\pi - 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4}$.
Оба корня принадлежат интервалу $(0, \pi)$, поэтому оба являются решениями.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\operatorname{arcctg} x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
2) $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{4} \implies x = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

21.58. a) $\arcsin \left( 2x + 3\frac{1}{3} \right) = \arcsin \left( -\frac{2x}{9} \right);$

б) $\operatorname{arctg} (x^2 - 9) = \operatorname{arctg} 8x;$

в) $\arccos (3x + 1) = \arccos (2x + 5);$

г) $\operatorname{arcctg} (x^2 - x) = \operatorname{arcctg} (4x - 6).$

а)

Дано уравнение: $arcsin(2x + 3\frac{1}{3}) = arcsin(-\frac{2x}{9})$.

Функция $y = \arcsin(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, которая представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Поэтому равенство арксинусов двух выражений возможно тогда и только тогда, когда эти выражения равны и их значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x + 3\frac{1}{3} = -\frac{2x}{9} \\ -1 \le -\frac{2x}{9} \le 1 \end{cases} $

Сначала решим уравнение:

$2x + \frac{10}{3} = -\frac{2x}{9}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 9:

$9 \cdot 2x + 9 \cdot \frac{10}{3} = 9 \cdot (-\frac{2x}{9})$

$18x + 30 = -2x$

$18x + 2x = -30$

$20x = -30$

$x = -\frac{30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений (ОДЗ). Для этого подставим $x = -1.5$ в выражение под знаком арксинуса.

Проверим значение выражения $2x + 3\frac{1}{3}$:

$2 \cdot (-1.5) + \frac{10}{3} = -3 + \frac{10}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{10}{3} = \frac{1}{3}$

Значение $\frac{1}{3}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$.

Поскольку аргументы арксинусов равны, значение второго выражения также будет $\frac{1}{3}$, что также удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, корень $x = -1.5$ подходит.

Ответ: -1.5

б)

Дано уравнение: $arctg(x^2 - 9) = arctg(8x)$.

Функция $y = arctg(t)$ определена и монотонно возрастает для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$. Поэтому никаких ограничений на аргументы арктангенса не накладывается.

Равенство арктангенсов двух выражений равносильно равенству самих выражений:

$x^2 - 9 = 8x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 8$

$x_1 \cdot x_2 = -9$

Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1; 9

в)

Дано уравнение: $arccos(3x + 1) = arccos(2x + 5)$.

Функция $y = arccos(t)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения, которая представляет собой отрезок $[-1, 1]$.

Уравнение равносильно системе, где аргументы равны и принадлежат области определения арккосинуса:

$ \begin{cases} 3x + 1 = 2x + 5 \\ -1 \le 3x + 1 \le 1 \\ -1 \le 2x + 5 \le 1 \end{cases} $

Решим сначала уравнение:

$3x + 1 = 2x + 5$

$3x - 2x = 5 - 1$

$x = 4$

Теперь выполним проверку, подставив найденное значение $x=4$ в выражения под знаком арккосинуса, чтобы проверить выполнение условий ОДЗ.

Проверим первое выражение: $3x + 1 = 3(4) + 1 = 13$.

Значение $13$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Проверим второе выражение: $2x + 5 = 2(4) + 5 = 13$.

Значение $13$ также не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Поскольку при $x=4$ аргументы арккосинусов выходят за пределы области определения, этот корень является посторонним. Других корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет

г)

Дано уравнение: $arcctg(x^2 - x) = arcctg(4x - 6)$.

Функция $y = arcctg(t)$ определена и монотонно убывает для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$. Ограничений на аргументы арккотангенса нет.

Равенство арккотангенсов двух выражений равносильно равенству самих выражений:

$x^2 - x = 4x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 4x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 2; 3