Номер 21.52, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.52. a) $y = \sin (\arccos x);$

б) $y = \text{tg} (\text{arcctg} x);$

В) $y = \cos (\arcsin x);$

Г) $y = \text{ctg} (\text{arctg} x).$

a) Рассмотрим функцию $y = \sin(\operatorname{arccos} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arccos} x$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$.

Нам необходимо найти $\sin(\alpha)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Из этого тождества выразим $\sin^2(\alpha)$: $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. Подставим известное значение $\cos(\alpha) = x$ и получим: $\sin^2(\alpha) = 1 - x^2$.

Отсюда следует, что $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Чтобы определить правильный знак, обратимся к области значений арккосинуса: $\alpha \in [0, \pi]$. В этом интервале синус является неотрицательной функцией, то есть $\sin(\alpha) \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак «+».

Таким образом, получаем, что $y = \sin(\operatorname{arccos} x) = \sqrt{1-x^2}$.

Область определения функции $\operatorname{arccos} x$ — это отрезок $x \in [-1, 1]$, что совпадает с областью определения выражения $\sqrt{1-x^2}$.

Ответ: $y = \sqrt{1-x^2}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg}(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $(0, \pi)$.

Нам необходимо найти $\operatorname{tg}(\alpha)$. Воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс одного и того же угла: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\alpha)}$.

Подставим $\operatorname{ctg}(\alpha) = x$ в это тождество: $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{x}$.

Таким образом, $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{x}$.

Необходимо учесть область определения. Функция $\operatorname{tg}(\alpha)$ не определена, когда ее аргумент $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. В интервале $(0, \pi)$ это происходит при $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Найдем, какому значению $x$ это соответствует: $x = \operatorname{ctg}(\alpha) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Следовательно, исходная функция не определена при $x=0$. Область определения полученной функции $y = \frac{1}{x}$ также исключает точку $x=0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos(\operatorname{arcsin} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arcsin} x$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Нам необходимо найти $\cos(\alpha)$. Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $\cos^2(\alpha)$: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$. Подставив $\sin(\alpha) = x$, получим: $\cos^2(\alpha) = 1 - x^2$.

Отсюда следует, что $\cos(\alpha) = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Чтобы определить правильный знак, обратимся к области значений арксинуса: $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале косинус является неотрицательной функцией, то есть $\cos(\alpha) \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак «+».

Таким образом, получаем, что $y = \cos(\operatorname{arcsin} x) = \sqrt{1-x^2}$.

Область определения функции $\operatorname{arcsin} x$ — это отрезок $x \in [-1, 1]$, что совпадает с областью определения выражения $\sqrt{1-x^2}$.

Ответ: $y = \sqrt{1-x^2}$.

г) Рассмотрим функцию $y = \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x)$.

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg}(\alpha) = x$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Нам необходимо найти $\operatorname{ctg}(\alpha)$. Воспользуемся тождеством $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)}$.

Подставим $\operatorname{tg}(\alpha) = x$ в это тождество: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{x}$.

Таким образом, $y = \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{x}$.

Рассмотрим область определения. Функция $\operatorname{ctg}(\alpha)$ не определена, когда ее аргумент $\alpha = \pi k$ для любого целого $k$. В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ это происходит при $\alpha = 0$. Найдем, какому значению $x$ это соответствует: $x = \operatorname{tg}(\alpha) = \operatorname{tg}(0) = 0$. Следовательно, исходная функция не определена при $x=0$. Область определения полученной функции $y = \frac{1}{x}$ также исключает точку $x=0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$.