Номер 21.55, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Параграф 21. Обратные тригонометрические функции. Глава 3. Тригонометрические функции. Часть 2 - номер 21.55, страница 134.

Условие.

21.55. a) $\arcsin (3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$;

б) $\operatorname{arctg} (x^3 - 27 - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$;

в) $\arccos (3x^2 - 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$;

г) $\operatorname{arcctg} (x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) $\arcsin(3x^2 - 5x + 1) = \frac{\pi}{2}$

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом область значений арксинуса $b \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а область определения $a \in [-1, 1]$.

В данном случае $b = \frac{\pi}{2}$ входит в область значений арксинуса. Применим определение:

$3x^2 - 5x + 1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем уравнение:

$3x^2 - 5x + 1 = 1$

$3x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3x - 5) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$3x - 5 = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3}$

Оба корня являются решением, так как при их подстановке аргумент арксинуса равен 1, что входит в область определения $[-1, 1]$.

Ответ: $0; \frac{5}{3}$.

б) $\operatorname{arctg}(x^3 - 27 - \sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

По определению арктангенса, если $\operatorname{arctg}(a) = b$, то $a = \tan(b)$. Область значений арктангенса $b \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

В данном случае $b = -\frac{\pi}{3}$ входит в область значений. Применим определение:

$x^3 - 27 - \sqrt{3} = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Так как $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$, получаем:

$x^3 - 27 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$

$x^3 - 27 = 0$

$x^3 = 27$

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

в) $\arccos(3x^2 - 10x + 2,5) = \frac{2\pi}{3}$

По определению арккосинуса, если $\arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$. При этом область значений арккосинуса $b \in [0, \pi]$, а область определения $a \in [-1, 1]$.

В данном случае $b = \frac{2\pi}{3}$ входит в область значений. Применим определение:

$3x^2 - 10x + 2,5 = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -0,5$, получаем уравнение:

$3x^2 - 10x + 2,5 = -0,5$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$x_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня являются решением, так как при их подстановке аргумент арккосинуса равен -0,5, что входит в область определения $[-1, 1]$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

г) $\operatorname{arcctg}(x^3 - 8x^2 + 15x + 1) = \frac{\pi}{4}$

По определению арккотангенса, если $\operatorname{arcctg}(a) = b$, то $a = \operatorname{ctg}(b)$. Область значений арккотангенса $b \in (0, \pi)$.

В данном случае $b = \frac{\pi}{4}$ входит в область значений. Применим определение:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем уравнение:

$x^3 - 8x^2 + 15x + 1 = 1$

$x^3 - 8x^2 + 15x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - 8x + 15) = 0$

Получаем один корень $x_1 = 0$ и квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Подбором находим корни:

$x_2 = 3$ и $x_3 = 5$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $0; 3; 5$.