Номер 21.58, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.58. a) $\arcsin \left( 2x + 3\frac{1}{3} \right) = \arcsin \left( -\frac{2x}{9} \right);$

б) $\operatorname{arctg} (x^2 - 9) = \operatorname{arctg} 8x;$

в) $\arccos (3x + 1) = \arccos (2x + 5);$

г) $\operatorname{arcctg} (x^2 - x) = \operatorname{arcctg} (4x - 6).$

а)

Дано уравнение: $arcsin(2x + 3\frac{1}{3}) = arcsin(-\frac{2x}{9})$.

Функция $y = \arcsin(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, которая представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Поэтому равенство арксинусов двух выражений возможно тогда и только тогда, когда эти выражения равны и их значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x + 3\frac{1}{3} = -\frac{2x}{9} \\ -1 \le -\frac{2x}{9} \le 1 \end{cases} $

Сначала решим уравнение:

$2x + \frac{10}{3} = -\frac{2x}{9}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 9:

$9 \cdot 2x + 9 \cdot \frac{10}{3} = 9 \cdot (-\frac{2x}{9})$

$18x + 30 = -2x$

$18x + 2x = -30$

$20x = -30$

$x = -\frac{30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений (ОДЗ). Для этого подставим $x = -1.5$ в выражение под знаком арксинуса.

Проверим значение выражения $2x + 3\frac{1}{3}$:

$2 \cdot (-1.5) + \frac{10}{3} = -3 + \frac{10}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{10}{3} = \frac{1}{3}$

Значение $\frac{1}{3}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$.

Поскольку аргументы арксинусов равны, значение второго выражения также будет $\frac{1}{3}$, что также удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, корень $x = -1.5$ подходит.

Ответ: -1.5

б)

Дано уравнение: $arctg(x^2 - 9) = arctg(8x)$.

Функция $y = arctg(t)$ определена и монотонно возрастает для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$. Поэтому никаких ограничений на аргументы арктангенса не накладывается.

Равенство арктангенсов двух выражений равносильно равенству самих выражений:

$x^2 - 9 = 8x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 8$

$x_1 \cdot x_2 = -9$

Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1; 9

в)

Дано уравнение: $arccos(3x + 1) = arccos(2x + 5)$.

Функция $y = arccos(t)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения, которая представляет собой отрезок $[-1, 1]$.

Уравнение равносильно системе, где аргументы равны и принадлежат области определения арккосинуса:

$ \begin{cases} 3x + 1 = 2x + 5 \\ -1 \le 3x + 1 \le 1 \\ -1 \le 2x + 5 \le 1 \end{cases} $

Решим сначала уравнение:

$3x + 1 = 2x + 5$

$3x - 2x = 5 - 1$

$x = 4$

Теперь выполним проверку, подставив найденное значение $x=4$ в выражения под знаком арккосинуса, чтобы проверить выполнение условий ОДЗ.

Проверим первое выражение: $3x + 1 = 3(4) + 1 = 13$.

Значение $13$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Проверим второе выражение: $2x + 5 = 2(4) + 5 = 13$.

Значение $13$ также не принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Поскольку при $x=4$ аргументы арккосинусов выходят за пределы области определения, этот корень является посторонним. Других корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет

г)

Дано уравнение: $arcctg(x^2 - x) = arcctg(4x - 6)$.

Функция $y = arcctg(t)$ определена и монотонно убывает для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$. Ограничений на аргументы арккотангенса нет.

Равенство арккотангенсов двух выражений равносильно равенству самих выражений:

$x^2 - x = 4x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 4x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 2; 3