Номер 21.63, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.63. На сколько процентов:

а) число $\arccos (\sin 45^\circ + \cos 135^\circ)$ больше числа

$\arcsin \left(\cos \frac{7\pi}{3}\right)$;

б) число $\arccos (\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$ больше числа

$\arcsin \left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$;

в) число $\arcsin \left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)$ меньше числа

$\arccos (\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$;

г) число $\arccos (\sin 60^\circ + \cos 150^\circ)$ больше числа

$\arcsin \left(\cos \frac{13\pi}{6}\right)$?

а)

Чтобы определить, на сколько процентов первое число больше второго, сначала найдем значения этих чисел. Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arccos(\sin 45^\circ + \cos 135^\circ)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 45^\circ + \cos 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Тогда $A = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем значение второго числа:

$B = \arcsin(\cos \frac{7\pi}{3})$

Упростим аргумент косинуса:

$\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\cos \frac{7\pi}{3} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Тогда $B = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим, на сколько процентов число $A$ больше числа $B$, по формуле: $\frac{A - B}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\frac{3\pi - \pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\frac{2\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{6}} \times 100\% = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{6}{\pi} \times 100\% = 2 \times 100\% = 200\%$.

Ответ: на 200%.

б)

Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$

Вычислим выражение в скобках:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

$\sin 30^\circ + \cos 120^\circ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Тогда $A = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем значение второго числа:

$B = \arcsin(\cos \frac{9\pi}{4})$

Упростим аргумент косинуса:

$\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Тогда $B = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим, на сколько процентов число $A$ больше числа $B$: $\frac{A - B}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{4}} \times 100\% = \frac{\frac{2\pi - \pi}{4}}{\frac{\pi}{4}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{4}} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$.

Ответ: на 100%.

в)

Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arcsin(\cos \frac{9\pi}{4})$

Как мы вычислили в пункте б), $A = \frac{\pi}{4}$.

$B = \arccos(\sin 30^\circ + \cos 120^\circ)$

Как мы вычислили в пункте б), $B = \frac{\pi}{2}$.

Теперь вычислим, на сколько процентов число $A$ меньше числа $B$. За базу для сравнения принимаем число $B$. Формула: $\frac{B - A}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}} \times 100\% = \frac{\frac{2\pi - \pi}{4}}{\frac{\pi}{2}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}} \times 100\% = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{\pi} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$.

Ответ: на 50%.

г)

Обозначим первое число как $A$, а второе как $B$.

$A = \arccos(\sin 60^\circ + \cos 150^\circ)$

Вычислим выражение в скобках:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 60^\circ + \cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Тогда $A = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем значение второго числа:

$B = \arcsin(\cos \frac{13\pi}{6})$

Упростим аргумент косинуса:

$\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\cos \frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тогда $B = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Вычислим, на сколько процентов число $A$ больше числа $B$: $\frac{A - B}{B} \times 100\%$.

$\frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{3}} \times 100\% = \frac{\frac{3\pi - 2\pi}{6}}{\frac{\pi}{3}} \times 100\% = \frac{\frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{3}} \times 100\% = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{3}{\pi} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$.

Ответ: на 50%.