Номер 22.1, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.1. a) $\cos x = \frac{1}{2}$;

б) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) Для решения уравнения $ \cos x = \frac{1}{2} $ используется общая формула для нахождения корней тригонометрического уравнения вида $ \cos x = a $: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ a = \frac{1}{2} $. Арккосинус этого значения является табличным: $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $. Подставляем это значение в общую формулу: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ применяется общая формула $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $. Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Подставляя найденное значение в общую формулу, получаем: $ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Общее решение для такого типа уравнений: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Используем свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $: $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Подставляем это значение в общую формулу решения: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ используем общую формулу $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Значение $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) $ является табличным и равно $ \frac{\pi}{4} $. Подставляем это значение в общую формулу для получения всех корней уравнения: $ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.