Номер 22.8, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.8. a) $ \sin x = \frac{1}{4}; $

В) $ \sin x = -\frac{1}{7}; $

б) $ \sin x = \frac{\pi}{4}; $

Г) $ \sin x = \frac{\pi}{3}. $

а)

Дано уравнение $sin x = \frac{1}{4}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin x = a$. Решение такого уравнения существует тогда и только тогда, когда $|a| \le 1$.
В нашем случае $a = \frac{1}{4}$. Проверим условие: $|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.
Общая формула для нахождения корней уравнения $sin x = a$ имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим значение $a = \frac{1}{4}$ в общую формулу:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{1}{4}$ не является табличным значением синуса, арксинус этого числа записывается в такой форме.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $sin x = \frac{\pi}{4}$.
Это также уравнение вида $sin x = a$, где $a = \frac{\pi}{4}$. Проверим, выполняется ли условие $|a| \le 1$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда $a = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$.
Поскольку $|0.785| \le 1$, уравнение имеет решения.
Применяем общую формулу для корней уравнения $sin x = a$:
$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Подставляем наше значение $a = \frac{\pi}{4}$:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $sin x = -\frac{1}{7}$.
Здесь $a = -\frac{1}{7}$. Проверим условие существования решений $|a| \le 1$.
$|-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{7} \le 1$, решения существуют.
Используем общую формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Воспользуемся свойством арксинуса для отрицательного аргумента: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.
Тогда $\arcsin(-\frac{1}{7}) = -\arcsin(\frac{1}{7})$.
Подставим это в решение:
$x = (-1)^k (-\arcsin(\frac{1}{7})) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $sin x = \frac{\pi}{3}$.
Здесь $a = \frac{\pi}{3}$. Проверим, выполняется ли условие $|a| \le 1$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le sin x \le 1$.
Оценим значение $a = \frac{\pi}{3}$, используя $\pi \approx 3.14159$:
$a = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.
Так как $1.047 > 1$, значение $\frac{\pi}{3}$ не входит в область значений функции $sin x$.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.