Номер 22.10, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.10. a) $6\sin^2 x + \sin x = 2;$

б) $3\cos^2 x = 7(\sin x + 1).$

а)

Дано уравнение $6\sin^2 x + \sin x = 2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, приведенное к стандартному виду квадратного уравнения относительно $\sin x$:

$6\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

Подставив $t$ в уравнение, получим стандартное квадратное уравнение:

$6t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Оба найденных значения $t_1 = -2/3$ и $t_2 = 1/2$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$, следовательно, оба являются допустимыми решениями.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\sin x = t_1 = -\frac{2}{3}$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения записывается в виде: $x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, можем переписать решение как: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = t_2 = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(1/2) = \pi/6$, получаем: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $3\cos^2 x = 7(\sin x + 1)$.

Это уравнение содержит две разные тригонометрические функции. Чтобы решить его, приведем все к одной функции, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3(1 - \sin^2 x) = 7(\sin x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3 - 3\sin^2 x = 7\sin x + 7$

Перенесем все слагаемые в одну сторону (в правую, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным):

$0 = 3\sin^2 x + 7\sin x + 7 - 3$

$3\sin^2 x + 7\sin x + 4 = 0$

Снова введем замену переменной: пусть $t = \sin x$, с ограничением $-1 \le t \le 1$.

Получим квадратное уравнение:

$3t^2 + 7t + 4 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = -4/3 \approx -1.33$ не входит в отрезок $[-1; 1]$, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $t_2 = -1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для допустимого корня:

$\sin x = -1$

Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.