Номер 22.17, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.17. a) $\operatorname{tg}^2 x - 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0;$

б) $\operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0.$

а) $tg^2x - 6tgx + 5 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $tgx$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = tgx$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Подбором находим корни:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 5$

Отсюда следует, что $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $t = 1$, то $tgx = 1$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = arctg(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. Если $t = 5$, то $tgx = 5$.

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = arctg(5) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, исходное уравнение имеет две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = arctg(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $tg^2x - 2tgx - 3 = 0$

Это уравнение также является квадратным относительно $tgx$. Произведем замену переменной: пусть $t = tgx$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Выполним обратную замену:

1. Если $t = -1$, то $tgx = -1$.

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = arctg(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. Если $t = 3$, то $tgx = 3$.

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = arctg(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Исходное уравнение имеет две серии решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.