Номер 22.23, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.23. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

а) $ \cos x = \frac{1}{3} $, $ x \in [1; 6] $;

б) $ \cos x = -0,4 $, $ x \in [3; 11] $?

а)

Требуется найти количество корней уравнения $cos x = \frac{1}{3}$ на промежутке $x \in [1; 6]$.

Общее решение уравнения $cos x = a$ имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a = \frac{1}{3}$, поэтому решения имеют вид: $x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$.

Чтобы определить, какие из этих корней попадают в заданный промежуток, оценим значение $arccos(\frac{1}{3})$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0,5$ и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, то угол $arccos(\frac{1}{3})$ находится между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,1416$. Тогда $\frac{\pi}{3} \approx 1,0472$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Следовательно, $1,0472 < arccos(\frac{1}{3}) < 1,5708$.

Теперь проверим, какие корни из общих серий решений попадают в интервал $[1; 6]$.

1. Рассмотрим серию корней $x = arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x_1 = arccos(\frac{1}{3})$. Так как $1 < 1,0472 < x_1 < 1,5708 < 6$, этот корень принадлежит промежутку $[1; 6]$.
• При $n=1$: $x = arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi > 1,0472 + 2 \cdot 3,1416 = 7,3304 > 6$. Этот и последующие корни ($n > 0$) не входят в промежуток.
• При $n<0$ корни будут отрицательными и также не войдут в промежуток.

2. Рассмотрим серию корней $x = -arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = -arccos(\frac{1}{3}) < 0$. Корень не входит в промежуток.
• При $n=1$: $x_2 = 2\pi - arccos(\frac{1}{3})$. Используя нашу оценку: $2\pi - 1,5708 < x_2 < 2\pi - 1,0472$. Это дает $6,2832 - 1,5708 < x_2 < 6,2832 - 1,0472$, то есть $4,7124 < x_2 < 5,236$. Этот корень принадлежит промежутку $[1; 6]$.
• При $n=2$: $x = 4\pi - arccos(\frac{1}{3}) > 4\pi - 1,5708 > 12,56 - 1,5708 = 10,9892 > 6$. Этот и последующие корни не входят в промежуток.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет два корня: $x_1 = arccos(\frac{1}{3})$ и $x_2 = 2\pi - arccos(\frac{1}{3})$.

Ответ: 2.

б)

Требуется найти количество корней уравнения $cos x = -0,4$ на промежутке $x \in [3; 11]$.

Общее решение уравнения: $x = \pm arccos(-0,4) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арккосинуса: $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$. Тогда $arccos(-0,4) = \pi - arccos(0,4)$. Оценим значение $arccos(0,4)$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = 0,5$ и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $0 < 0,4 < 0,5$, то $\frac{\pi}{3} < arccos(0,4) < \frac{\pi}{2}$.

Используя $\pi \approx 3,1416$, получим $\frac{\pi}{3} \approx 1,0472$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$. Обозначим $\alpha = arccos(-0,4)$. Тогда $\alpha = \pi - arccos(0,4)$. Следовательно, $\pi - \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi - \frac{\pi}{3}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{2\pi}{3}$. В числовом выражении: $1,5708 < \alpha < 2,0944$.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[3; 11]$.

1. Рассмотрим серию корней $x = \alpha + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = \alpha$. Так как $1,5708 < \alpha < 2,0944$, этот корень не принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=1$: $x_1 = \alpha + 2\pi$. Используя оценку для $\alpha$: $1,5708 + 2 \cdot 3,1416 < x_1 < 2,0944 + 2 \cdot 3,1416$, то есть $7,854 < x_1 < 8,3776$. Этот корень принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=2$: $x = \alpha + 4\pi > 1,5708 + 4 \cdot 3,1416 > 14 > 11$. Этот и последующие корни не входят в промежуток.

2. Рассмотрим серию корней $x = -\alpha + 2\pi n$.

• При $n=0$: $x = -\alpha < 0$. Корень не входит в промежуток.
• При $n=1$: $x_2 = 2\pi - \alpha$. Используя оценку для $\alpha$: $2 \cdot 3,1416 - 2,0944 < x_2 < 2 \cdot 3,1416 - 1,5708$, то есть $4,1888 < x_2 < 4,7124$. Этот корень принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=2$: $x_3 = 4\pi - \alpha$. Используя оценку для $\alpha$: $4 \cdot 3,1416 - 2,0944 < x_3 < 4 \cdot 3,1416 - 1,5708$, то есть $10,472 < x_3 < 10,9956$. Этот корень также принадлежит промежутку $[3; 11]$.
• При $n=3$: $x = 6\pi - \alpha > 6 \cdot 3,1416 - 2,0944 > 18 - 2,1 = 15,9 > 11$. Этот и последующие корни не входят в промежуток.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет три корня.

Ответ: 3.