Номер 22.26, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.26. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

a) $ \sin x = 0.6 $, $ x \in \left( \frac{\pi}{4}; 3\pi \right) $;

б) $ \sin x = -\frac{2}{3} $, $ x \in (2; 7) $?

а)

Требуется найти количество корней уравнения $ \sin x = 0,6 $ на промежутке $ x \in (\frac{\pi}{4}; 3\pi) $. Для решения этой задачи проанализируем поведение функции $ y = \sin x $ на заданном интервале и определим, сколько раз она пересекает прямую $ y = 0,6 $.

1. Определим значения синуса на границах интервала (хотя сами границы не включаются):
- В левой точке $ x = \frac{\pi}{4} $, значение $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $.
- В правой точке $ x = 3\pi $, значение $ \sin(3\pi) = 0 $.

2. Рассмотрим поведение функции $ \sin x $ на промежутке $ (\frac{\pi}{4}; 3\pi) $, разбив его на участки монотонности:
- На интервале $ (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) $, значение $ \sin x $ возрастает от $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $ до 1. Так как $ 0,6 < 0,707 $, на этом участке корней нет.
- На интервале $ (\frac{\pi}{2}; \pi) $, значение $ \sin x $ убывает от 1 до 0. Поскольку $ 0 < 0,6 < 1 $, прямая $ y = 0,6 $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. (1 корень)
- На интервале $ (\pi; 2\pi) $, значение $ \sin x $ является отрицательным (от 0 до -1 и обратно до 0), поэтому корней здесь нет.
- На интервале $ (2\pi; \frac{5\pi}{2}) $, значение $ \sin x $ возрастает от 0 до 1. Прямая $ y = 0,6 $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. (1 корень)
- На интервале $ (\frac{5\pi}{2}; 3\pi) $, значение $ \sin x $ убывает от 1 до 0. Прямая $ y = 0,6 $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. (1 корень)

Суммируя количество корней на каждом участке, получаем: $ 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 3 $.

Ответ: 3

б)

Требуется найти количество корней уравнения $ \sin x = -\frac{2}{3} $ на промежутке $ x \in (2; 7) $. Для решения этой задачи проанализируем поведение функции $ y = \sin x $ на заданном интервале, используя приближенные значения числа $ \pi $.

1. Переведем границы интервала из радиан в более понятные величины, соотнеся их с ключевыми точками тригонометрического круга ($ \pi \approx 3,14 $):
- Левая граница: $ x = 2 $. Мы знаем, что $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $. Это означает, что угол в 2 радиана находится во второй четверти, и $ \sin(2) > 0 $.
- Правая граница: $ x = 7 $. Мы знаем, что $ 2\pi \approx 6,28 $ и $ \frac{5\pi}{2} = 2,5\pi \approx 7,85 $. Таким образом, $ 2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2} $. Это означает, что угол в 7 радиан находится в первой четверти следующего оборота, и $ \sin(7) > 0 $.

2. Рассмотрим поведение функции $ \sin x $ на промежутке $ (2; 7) $ по частям, ища, где $ \sin x = -\frac{2}{3} \approx -0,67 $:
- На интервале $ (2; \pi) $ (примерно $ (2; 3,14) $), $ \sin x $ убывает от $ \sin(2) > 0 $ до 0. Так как искомое значение $ -\frac{2}{3} $ отрицательно, на этом участке корней нет.
- На интервале $ (\pi; \frac{3\pi}{2}) $ (примерно $ (3,14; 4,71) $), значение $ \sin x $ убывает от 0 до -1. Поскольку $ -1 < -\frac{2}{3} < 0 $, прямая $ y = -\frac{2}{3} $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. Этот участок полностью входит в интервал $ (2; 7) $. (1 корень)
- На интервале $ (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) $ (примерно $ (4,71; 6,28) $), значение $ \sin x $ возрастает от -1 до 0. Прямая $ y = -\frac{2}{3} $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. Этот участок также полностью входит в интервал $ (2; 7) $. (1 корень)
- На интервале $ (2\pi; 7) $ (примерно $ (6,28; 7) $), значение $ \sin x $ возрастает от 0 до $ \sin(7) > 0 $. Так как искомое значение отрицательно, на этом участке корней нет.

Суммируя количество корней на каждом подходящем участке, получаем: $ 0 + 1 + 1 + 0 = 2 $.

Ответ: 2