Номер 22.30, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.30. Решите уравнение $\sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right];$

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right).$

Сначала решим уравнение в общем виде.Дано уравнение: $ \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $.Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения. Аргумент синуса должен быть равен $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.$ 2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $Теперь выразим $x$:$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$ 2x = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$ 2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $Разделим обе части на 2:$ x = -\frac{\pi}{8} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.Это общая формула для всех корней уравнения. Теперь найдем конкретные корни, указанные в подпунктах.

а) наименьший положительный корень;
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим в общую формулу $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n$ целые значения $n$ и найдем наименьший результат $x > 0$.
При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$. Корень отрицательный.
При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{-\pi + 8\pi}{8} = \frac{7\pi}{8}$. Корень положительный.
При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 2 = \frac{15\pi}{8}$. Этот корень также положительный, но больше, чем $\frac{7\pi}{8}$.Следовательно, наименьшим положительным корнем является $\frac{7\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{8}$.

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;
Для отбора корней на заданном отрезке решим двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{8} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{8} + n \le \frac{3}{2}$
Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \le n \le \frac{3}{2} + \frac{1}{8}$
$-\frac{4}{8} + \frac{1}{8} \le n \le \frac{12}{8} + \frac{1}{8}$
$-\frac{3}{8} \le n \le \frac{13}{8}$
В десятичных дробях: $-0.375 \le n \le 1.625$.
Этому условию удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
Найдем соответствующие корни $x$:
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.
При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{8}$.
Оба корня принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.
Ответ: $-\frac{\pi}{8}; \frac{7\pi}{8}$.

в) наибольший отрицательный корень;
Чтобы найти наибольший отрицательный корень, будем перебирать целые значения $n$ в общей формуле $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n$ и искать наибольшее значение $x < 0$.
При $n = 1$: $x = \frac{7\pi}{8}$ (положительный).
При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{8}$ (отрицательный).
При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi(-1) = -\frac{\pi}{8} - \pi = -\frac{9\pi}{8}$ (отрицательный).
Сравнивая отрицательные корни, видим, что $-\frac{\pi}{8} > -\frac{9\pi}{8}$. Таким образом, наибольший отрицательный корень — это $-\frac{\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.
Для отбора корней на заданном интервале решим строгое двойное неравенство:
$-\pi < -\frac{\pi}{8} + \pi n < \frac{\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-1 < -\frac{1}{8} + n < \frac{1}{2}$
Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям неравенства:
$-1 + \frac{1}{8} < n < \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$
$-\frac{8}{8} + \frac{1}{8} < n < \frac{4}{8} + \frac{1}{8}$
$-\frac{7}{8} < n < \frac{5}{8}$
В десятичных дробях: $-0.875 < n < 0.625$.
Единственное целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=0$.
Найдем соответствующий корень $x$:
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.
Этот корень принадлежит интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.
Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.