Страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.26. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

a) $ \sin x = 0.6 $, $ x \in \left( \frac{\pi}{4}; 3\pi \right) $;

б) $ \sin x = -\frac{2}{3} $, $ x \in (2; 7) $?

а)

Требуется найти количество корней уравнения $ \sin x = 0,6 $ на промежутке $ x \in (\frac{\pi}{4}; 3\pi) $. Для решения этой задачи проанализируем поведение функции $ y = \sin x $ на заданном интервале и определим, сколько раз она пересекает прямую $ y = 0,6 $.

1. Определим значения синуса на границах интервала (хотя сами границы не включаются):
- В левой точке $ x = \frac{\pi}{4} $, значение $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $.
- В правой точке $ x = 3\pi $, значение $ \sin(3\pi) = 0 $.

2. Рассмотрим поведение функции $ \sin x $ на промежутке $ (\frac{\pi}{4}; 3\pi) $, разбив его на участки монотонности:
- На интервале $ (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) $, значение $ \sin x $ возрастает от $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $ до 1. Так как $ 0,6 < 0,707 $, на этом участке корней нет.
- На интервале $ (\frac{\pi}{2}; \pi) $, значение $ \sin x $ убывает от 1 до 0. Поскольку $ 0 < 0,6 < 1 $, прямая $ y = 0,6 $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. (1 корень)
- На интервале $ (\pi; 2\pi) $, значение $ \sin x $ является отрицательным (от 0 до -1 и обратно до 0), поэтому корней здесь нет.
- На интервале $ (2\pi; \frac{5\pi}{2}) $, значение $ \sin x $ возрастает от 0 до 1. Прямая $ y = 0,6 $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. (1 корень)
- На интервале $ (\frac{5\pi}{2}; 3\pi) $, значение $ \sin x $ убывает от 1 до 0. Прямая $ y = 0,6 $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. (1 корень)

Суммируя количество корней на каждом участке, получаем: $ 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 3 $.

Ответ: 3

б)

Требуется найти количество корней уравнения $ \sin x = -\frac{2}{3} $ на промежутке $ x \in (2; 7) $. Для решения этой задачи проанализируем поведение функции $ y = \sin x $ на заданном интервале, используя приближенные значения числа $ \pi $.

1. Переведем границы интервала из радиан в более понятные величины, соотнеся их с ключевыми точками тригонометрического круга ($ \pi \approx 3,14 $):
- Левая граница: $ x = 2 $. Мы знаем, что $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $. Это означает, что угол в 2 радиана находится во второй четверти, и $ \sin(2) > 0 $.
- Правая граница: $ x = 7 $. Мы знаем, что $ 2\pi \approx 6,28 $ и $ \frac{5\pi}{2} = 2,5\pi \approx 7,85 $. Таким образом, $ 2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2} $. Это означает, что угол в 7 радиан находится в первой четверти следующего оборота, и $ \sin(7) > 0 $.

2. Рассмотрим поведение функции $ \sin x $ на промежутке $ (2; 7) $ по частям, ища, где $ \sin x = -\frac{2}{3} \approx -0,67 $:
- На интервале $ (2; \pi) $ (примерно $ (2; 3,14) $), $ \sin x $ убывает от $ \sin(2) > 0 $ до 0. Так как искомое значение $ -\frac{2}{3} $ отрицательно, на этом участке корней нет.
- На интервале $ (\pi; \frac{3\pi}{2}) $ (примерно $ (3,14; 4,71) $), значение $ \sin x $ убывает от 0 до -1. Поскольку $ -1 < -\frac{2}{3} < 0 $, прямая $ y = -\frac{2}{3} $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. Этот участок полностью входит в интервал $ (2; 7) $. (1 корень)
- На интервале $ (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) $ (примерно $ (4,71; 6,28) $), значение $ \sin x $ возрастает от -1 до 0. Прямая $ y = -\frac{2}{3} $ пересекает график функции на этом участке ровно один раз. Этот участок также полностью входит в интервал $ (2; 7) $. (1 корень)
- На интервале $ (2\pi; 7) $ (примерно $ (6,28; 7) $), значение $ \sin x $ возрастает от 0 до $ \sin(7) > 0 $. Так как искомое значение отрицательно, на этом участке корней нет.

Суммируя количество корней на каждом подходящем участке, получаем: $ 0 + 1 + 1 + 0 = 2 $.

Ответ: 2

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

22.27. a) $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; 2\pi]$

б) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\pi; \pi]$

в) $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $[-3\pi; 3\pi]$

г) $\operatorname{ctg} 4x = -1$, $[0; \pi]$

а) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, на промежутке $ [0; 2\pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ 3x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 3x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Это общее решение можно представить в виде двух серий корней:
1) $ 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $
2) $ 3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; 2\pi] $.
Для первой серии $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} $:
$ 0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \le 2\pi $
$ 0 \le \frac{1}{12} + \frac{2k}{3} \le 2 $
$ -\frac{1}{12} \le \frac{8k}{12} \le \frac{23}{12} $
$ -1 \le 8k \le 23 $
$ -0.125 \le k \le 2.875 $. Целые значения $ k $: 0, 1, 2.
При $ k=0: x = \frac{\pi}{12} $.
При $ k=1: x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi+8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $.
При $ k=2: x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi+16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} $.

Для второй серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} $:
$ 0 \le \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \le 2\pi $
$ 0 \le \frac{1}{4} + \frac{2k}{3} \le 2 $
$ -\frac{1}{4} \le \frac{2k}{3} \le \frac{7}{4} $
$ -3 \le 8k \le 21 $
$ -0.375 \le k \le 2.625 $. Целые значения $ k $: 0, 1, 2.
При $ k=0: x = \frac{\pi}{4} $.
При $ k=1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi+8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} $.
При $ k=2: x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi+16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12} $.

б) $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, на промежутке $ [-\pi; \pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ 3x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-\pi; \pi] $.
Для серии $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:
$ -\pi \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi $
$ -1 \le \frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1 $
$ -1 - \frac{1}{18} \le \frac{12n}{18} \le 1 - \frac{1}{18} $
$ -\frac{19}{18} \le \frac{12n}{18} \le \frac{17}{18} $
$ -19 \le 12n \le 17 $
$ -1.58... \le n \le 1.41... $. Целые значения $ n $: -1, 0, 1.
При $ n=-1: x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi-12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18} $.
При $ n=0: x = \frac{\pi}{18} $.
При $ n=1: x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi+12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} $.

Для серии $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:
$ -\pi \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi $
$ -1 \le -\frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1 $
$ -1 + \frac{1}{18} \le \frac{12n}{18} \le 1 + \frac{1}{18} $
$ -\frac{17}{18} \le \frac{12n}{18} \le \frac{19}{18} $
$ -17 \le 12n \le 19 $
$ -1.41... \le n \le 1.58... $. Целые значения $ n $: -1, 0, 1.
При $ n=-1: x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi-12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18} $.
При $ n=0: x = -\frac{\pi}{18} $.
При $ n=1: x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi+12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} $.

Ответ: $ -\frac{13\pi}{18}, -\frac{11\pi}{18}, -\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18} $.

в) $ \text{tg}\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, на промежутке $ [-3\pi; 3\pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ \frac{x}{2} = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-3\pi; 3\pi] $.
$ -3\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi $
$ -3 \le \frac{1}{3} + 2n \le 3 $
$ -3 - \frac{1}{3} \le 2n \le 3 - \frac{1}{3} $
$ -\frac{10}{3} \le 2n \le \frac{8}{3} $
$ -\frac{10}{6} \le n \le \frac{8}{6} $
$ -1.66... \le n \le 1.33... $. Целые значения $ n $: -1, 0, 1.
При $ n=-1: x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} $.
При $ n=0: x = \frac{\pi}{3} $.
При $ n=1: x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} $.

г) $ \text{ctg}\,4x = -1 $, на промежутке $ [0; \pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ 4x = \text{arcctg}(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; \pi] $.
$ 0 \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} \le \pi $
$ 0 \le \frac{3}{16} + \frac{n}{4} \le 1 $
$ -\frac{3}{16} \le \frac{4n}{16} \le 1 - \frac{3}{16} $
$ -\frac{3}{16} \le \frac{4n}{16} \le \frac{13}{16} $
$ -3 \le 4n \le 13 $
$ -0.75 \le n \le 3.25 $. Целые значения $ n $: 0, 1, 2, 3.
При $ n=0: x = \frac{3\pi}{16} $.
При $ n=1: x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi+4\pi}{16} = \frac{7\pi}{16} $.
При $ n=2: x = \frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi+8\pi}{16} = \frac{11\pi}{16} $.
При $ n=3: x = \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi+12\pi}{16} = \frac{15\pi}{16} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{16}, \frac{7\pi}{16}, \frac{11\pi}{16}, \frac{15\pi}{16} $.

22.28. a) $sin x = -\frac{1}{2}$, $[-4; 4];$

б) $cos x = 1$, $[-6; 16].$

а) Требуется найти решения уравнения $ \sin x = -\frac{1}{2} $ на отрезке $ [-4; 4] $.

Сначала найдем общее решение уравнения $ \sin x = -\frac{1}{2} $.
Общее решение тригонометрического уравнения $ \sin x = a $ при $ |a| \le 1 $ записывается формулой $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Для нашего случая $ a = -\frac{1}{2} $, и $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.
Следовательно, общее решение имеет вид: $ x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Эту формулу удобнее представить в виде двух серий решений:
1) $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $ [-4; 4] $. Для этого будем подставлять различные целые значения $ n $ в каждую серию.
Для оценки будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.

Рассмотрим первую серию $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $:
При $ n = 0 $: $ x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52 $. Так как $ -4 \le -0.52 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5.76 $. Так как $ 5.76 > 4 $, этот корень не подходит.
При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6.81 $. Так как $ -6.81 < -4 $, этот корень не подходит.
Из первой серии подходит только один корень: $ -\frac{\pi}{6} $.

Рассмотрим вторую серию $ x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $:
При $ n = 0 $: $ x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67 $. Так как $ -4 \le 3.67 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ n = 1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.95 $. Так как $ 9.95 > 4 $, этот корень не подходит.
При $ n = -1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62 $. Так как $ -4 \le -2.62 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ n = -2 $: $ x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -8.9 $. Так как $ -8.9 < -4 $, этот корень не подходит.
Из второй серии подходят два корня: $ \frac{7\pi}{6} $ и $ -\frac{5\pi}{6} $.

Объединяя найденные корни, получаем все решения уравнения на заданном отрезке.
Ответ: $ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} $.

б) Требуется найти решения уравнения $ \cos x = 1 $ на отрезке $ [-6; 16] $.

Сначала найдем общее решение уравнения $ \cos x = 1 $.
Это частный случай тригонометрического уравнения, его решение имеет вид: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $ [-6; 16] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ k $:
$ -6 \le 2\pi k \le 16 $
Разделим все части неравенства на $ 2\pi $:
$ -\frac{6}{2\pi} \le k \le \frac{16}{2\pi} $
$ -\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{8}{\pi} $

Для оценки границ используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $:
$ -\frac{3}{3.14159} \approx -0.955 $
$ \frac{8}{3.14159} \approx 2.546 $

Таким образом, неравенство для $ k $ имеет вид:
$ -0.955 \le k \le 2.546 $
Целые значения $ k $, удовлетворяющие этому неравенству: $ k=0, k=1, k=2 $.

Найдем соответствующие значения $ x $ для каждого целого $ k $:
При $ k = 0 $: $ x = 2\pi \cdot 0 = 0 $. Этот корень принадлежит отрезку $ [-6; 16] $.
При $ k = 1 $: $ x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi $. $ 2\pi \approx 6.28 $, этот корень принадлежит отрезку $ [-6; 16] $.
При $ k = 2 $: $ x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi $. $ 4\pi \approx 12.57 $, этот корень принадлежит отрезку $ [-6; 16] $.

При $ k=3 $ корень $ x = 6\pi \approx 18.85 > 16 $, он не входит в отрезок.
При $ k=-1 $ корень $ x = -2\pi \approx -6.28 < -6 $, он также не входит в отрезок.

Следовательно, на заданном отрезке уравнение имеет три корня.
Ответ: $ 0; 2\pi; 4\pi $.

22.29. a) $\sin \frac{x}{2} = 0$, $[-12; 18]$;

б) $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $[1; 7]$.

а) Решим уравнение $ \sin\frac{x}{2} = 0 $ и найдем корни, принадлежащие отрезку $ [-12; 18] $.

1. Нахождение общего решения.

Уравнение $ \sin t = 0 $ является частным случаем тригонометрического уравнения. Его решениями являются значения $ t $, при которых синус обращается в ноль, то есть $ t = k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В нашем случае $ t = \frac{x}{2} $, поэтому:

$ \frac{x}{2} = k\pi $

Чтобы найти $ x $, умножим обе части уравнения на 2:

$ x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $

Это общее решение уравнения.

2. Отбор корней на отрезке $ [-12; 18] $.

Чтобы найти корни, принадлежащие заданному отрезку, решим двойное неравенство относительно $ k $:

$ -12 \le 2k\pi \le 18 $

Разделим все части неравенства на $ 2\pi $:

$ \frac{-12}{2\pi} \le k \le \frac{18}{2\pi} $

$ -\frac{6}{\pi} \le k \le \frac{9}{\pi} $

Для определения целых значений $ k $, удовлетворяющих этому неравенству, используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $:

$ -\frac{6}{3.14159} \approx -1.91 $

$ \frac{9}{3.14159} \approx 2.86 $

Таким образом, неравенство для $ k $ можно записать как $ -1.91 \le k \le 2.86 $. Целыми числами в этом диапазоне являются:

$ k \in \{-1, 0, 1, 2\} $.

3. Вычисление корней.

Подставим найденные значения $ k $ в формулу общего решения $ x = 2k\pi $:

При $ k = -1 \implies x = 2(-1)\pi = -2\pi $

При $ k = 0 \implies x = 2(0)\pi = 0 $

При $ k = 1 \implies x = 2(1)\pi = 2\pi $

При $ k = 2 \implies x = 2(2)\pi = 4\pi $

Все полученные значения ($ -2\pi \approx -6.28 $, $ 0 $, $ 2\pi \approx 6.28 $, $ 4\pi \approx 12.57 $) принадлежат отрезку $ [-12; 18] $.

Ответ: $ -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi $.

б) Решим уравнение $ \cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и найдем корни, принадлежащие отрезку $ [1; 7] $.

1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения $ \cos t = a $ (где $ |a| \le 1 $) имеет вид $ t = \pm\arccos(a) + 2k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ t = 3x $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Так как $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $, общее решение для $ 3x $ будет:

$ 3x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2k\pi $

Разделим обе части на 3, чтобы выразить $ x $:

$ x = \pm\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Это дает две серии решений:

Серия 1: $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $

Серия 2: $ x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $

2. Отбор корней на отрезке $ [1; 7] $.

Для первой серии $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $:

Решим неравенство $ 1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} \le 7 $.

$ 1 - \frac{\pi}{4} \le \frac{2k\pi}{3} \le 7 - \frac{\pi}{4} $.

Умножим на $ \frac{3}{2\pi} $: $ \frac{3}{2\pi}(1 - \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 - \frac{\pi}{4}) \implies \frac{3}{2\pi} - \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} - \frac{3}{8} $.

Приближенно: $ 0.477 - 0.375 \le k \le 3.344 - 0.375 \implies 0.102 \le k \le 2.969 $.

Целые значения $ k $: $ 1, 2 $.

При $ k = 1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} $.

При $ k = 2: x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + 16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $.

Для второй серии $ x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $:

Решим неравенство $ 1 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} \le 7 $.

$ 1 + \frac{\pi}{4} \le \frac{2k\pi}{3} \le 7 + \frac{\pi}{4} $.

Умножим на $ \frac{3}{2\pi} $: $ \frac{3}{2\pi}(1 + \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 + \frac{\pi}{4}) \implies \frac{3}{2\pi} + \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} + \frac{3}{8} $.

Приближенно: $ 0.477 + 0.375 \le k \le 3.344 + 0.375 \implies 0.852 \le k \le 3.719 $.

Целые значения $ k $: $ 1, 2, 3 $.

При $ k = 1: x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-3\pi + 8\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $.

При $ k = 2: x = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-3\pi + 16\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} $.

При $ k = 3: x = -\frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $.

3. Итоговый список корней.

Объединим все найденные корни. Приближенные значения: $ \frac{5\pi}{12} \approx 1.31 $, $ \frac{11\pi}{12} \approx 2.88 $, $ \frac{13\pi}{12} \approx 3.40 $, $ \frac{19\pi}{12} \approx 4.97 $, $ \frac{7\pi}{4} \approx 5.50 $. Все эти значения лежат в отрезке $ [1; 7] $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{7\pi}{4} $.

22.30. Решите уравнение $\sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right];$

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right).$

Сначала решим уравнение в общем виде.Дано уравнение: $ \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $.Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения. Аргумент синуса должен быть равен $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.$ 2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $Теперь выразим $x$:$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$ 2x = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$ 2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $Разделим обе части на 2:$ x = -\frac{\pi}{8} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.Это общая формула для всех корней уравнения. Теперь найдем конкретные корни, указанные в подпунктах.

а) наименьший положительный корень;
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим в общую формулу $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n$ целые значения $n$ и найдем наименьший результат $x > 0$.
При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$. Корень отрицательный.
При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{-\pi + 8\pi}{8} = \frac{7\pi}{8}$. Корень положительный.
При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 2 = \frac{15\pi}{8}$. Этот корень также положительный, но больше, чем $\frac{7\pi}{8}$.Следовательно, наименьшим положительным корнем является $\frac{7\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{8}$.

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;
Для отбора корней на заданном отрезке решим двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{8} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{8} + n \le \frac{3}{2}$
Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \le n \le \frac{3}{2} + \frac{1}{8}$
$-\frac{4}{8} + \frac{1}{8} \le n \le \frac{12}{8} + \frac{1}{8}$
$-\frac{3}{8} \le n \le \frac{13}{8}$
В десятичных дробях: $-0.375 \le n \le 1.625$.
Этому условию удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
Найдем соответствующие корни $x$:
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.
При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{8}$.
Оба корня принадлежат отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.
Ответ: $-\frac{\pi}{8}; \frac{7\pi}{8}$.

в) наибольший отрицательный корень;
Чтобы найти наибольший отрицательный корень, будем перебирать целые значения $n$ в общей формуле $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n$ и искать наибольшее значение $x < 0$.
При $n = 1$: $x = \frac{7\pi}{8}$ (положительный).
При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{8}$ (отрицательный).
При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi(-1) = -\frac{\pi}{8} - \pi = -\frac{9\pi}{8}$ (отрицательный).
Сравнивая отрицательные корни, видим, что $-\frac{\pi}{8} > -\frac{9\pi}{8}$. Таким образом, наибольший отрицательный корень — это $-\frac{\pi}{8}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.
Для отбора корней на заданном интервале решим строгое двойное неравенство:
$-\pi < -\frac{\pi}{8} + \pi n < \frac{\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-1 < -\frac{1}{8} + n < \frac{1}{2}$
Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям неравенства:
$-1 + \frac{1}{8} < n < \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$
$-\frac{8}{8} + \frac{1}{8} < n < \frac{4}{8} + \frac{1}{8}$
$-\frac{7}{8} < n < \frac{5}{8}$
В десятичных дробях: $-0.875 < n < 0.625$.
Единственное целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=0$.
Найдем соответствующий корень $x$:
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.
Этот корень принадлежит интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.
Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

22.31. Решите уравнение $\cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \frac{1}{2}$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.

Сначала решим уравнение $cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = \frac{1}{2}$.

Поскольку функция косинус является четной, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$, мы можем переписать уравнение в виде:

$cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Это базовое тригонометрическое уравнение. Его решение находится по формуле:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$ (целое число).

Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Разобьем решение на два случая.

Случай 1 (со знаком "+"):

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$

Случай 2 (со знаком "-"):

$2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = 2\pi k$

Разделим обе части на 2:

$x = \pi k, k \in Z$

Таким образом, мы получили две серии корней уравнения: $x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi k$ и $x_2 = \pi k$. Теперь найдем корни, удовлетворяющие заданным условиям.

а) наименьший положительный корень;

Переберем значения $k$ для каждой серии, чтобы найти наименьший корень больше нуля.

Для серии $x = \pi k$:

• При $k=0$, $x = 0$ (не положительный).
• При $k=1$, $x = \pi$.

Наименьший положительный корень в этой серии: $\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$ (отрицательный).
• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.

Наименьший положительный корень в этой серии: $\frac{\pi}{3}$.

Сравнивая два наименьших положительных корня из обеих серий ($\pi$ и $\frac{\pi}{3}$), выбираем наименьший из них. Так как $\frac{\pi}{3} < \pi$, наименьший положительный корень уравнения равен $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

Найдем корни, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$.

Для серии $x = \pi k$:

$-\frac{\pi}{2} \le \pi k \le \frac{3\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=0, k=1$.

При $k=0 \implies x = 0$.

При $k=1 \implies x = \pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{3\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} + k \le \frac{3}{2} \implies -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \implies -\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=0, k=1$.

При $k=0 \implies x = \frac{\pi}{3}$.

При $k=1 \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

Объединяем все найденные корни и располагаем их в порядке возрастания: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$

в) наибольший отрицательный корень;

Переберем значения $k$ для каждой серии, чтобы найти наибольший корень меньше нуля.

Для серии $x = \pi k$:

• При $k=0$, $x=0$ (не отрицательный).
• При $k=-1$, $x = -\pi$.

Наибольший отрицательный корень в этой серии: $-\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

• При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$ (положительный).
• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.
• При $k=-2$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$.

Наибольший отрицательный корень в этой серии: $-\frac{2\pi}{3}$.

Сравнивая два наибольших отрицательных корня из обеих серий ($-\pi$ и $-\frac{2\pi}{3}$), выбираем наибольший. Так как $-\frac{2}{3} > -1$, то $-\frac{2\pi}{3} > -\pi$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$

г) корни, принадлежащие интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Найдем корни, удовлетворяющие строгому неравенству $-\pi < x < \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = \pi k$:

$-\pi < \pi k < \frac{\pi}{2} \implies -1 < k < \frac{1}{2}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию: $k=0$.

При $k=0 \implies x = 0$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

$-\pi < \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{\pi}{2} \implies -1 < \frac{1}{3} + k < \frac{1}{2} \implies -1 - \frac{1}{3} < k < \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \implies -\frac{4}{3} < k < \frac{1}{6}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=-1, k=0$.

При $k=-1 \implies x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

При $k=0 \implies x = \frac{\pi}{3}$.

Объединяем все найденные корни и располагаем их в порядке возрастания: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$

22.32. Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

a) $2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x, x \in \left(-\pi; \frac{3\pi}{2}\right];$

б) $\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x, x \in (-0.5\pi; 2\pi]$?

а) Исходное уравнение: $2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования котангенса и выражения $(\sin x)^{-2}$. Оба требуют, чтобы $\sin x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \pi k$ для любого целого $k$.
Преобразуем уравнение, используя тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$. Также учтем, что $(\sin x)^{-2} = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Перепишем левую часть уравнения: $2 + \operatorname{ctg}^2 x = 1 + (1 + \operatorname{ctg}^2 x) = 1 + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$1 + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} + \cos 4x$.
Вычитая $\frac{1}{\sin^2 x}$ из обеих частей, получаем простое уравнение:
$\cos 4x = 1$.
Решения этого уравнения имеют вид $4x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$.
Теперь необходимо отобрать корни, удовлетворяющие ОДЗ ($\sin x \neq 0$). Проверим значения $\sin(\frac{\pi n}{2})$:
Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2m$, то $x = \frac{\pi(2m)}{2} = \pi m$, и $\sin(\pi m) = 0$. Эти корни являются посторонними.
Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2m+1$, то $x = \frac{\pi(2m+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, и $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi m) = \pm 1 \neq 0$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем, сколько из этих корней принадлежит промежутку $x \in (-\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi < \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$.
Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-1 < \frac{1}{2} + k \le \frac{3}{2}$.
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:
$-1 - \frac{1}{2} < k \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$
$-1.5 < k \le 1$.
Целочисленные значения $k$, которые удовлетворяют этому условию: $k = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
- при $k=-1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$;
- при $k=0$: $x = \frac{\pi}{2}$;
- при $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Все три найденных корня $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ принадлежат указанному промежутку.

Ответ: 3 корня.

б) Исходное уравнение: $\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x$.
ОДЗ определяется условиями существования тангенса и выражения $(\cos x)^{-2}$. Оба требуют, чтобы $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.
Преобразуем уравнение, используя тождество $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Заметим, что $(\cos x)^{-2} = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Подставим тождество в правую часть уравнения:
$\operatorname{tg}^2 x = (1 + \operatorname{tg}^2 x) + \sin 3x$.
Вычитая $\operatorname{tg}^2 x$ из обеих частей, получаем:
$0 = 1 + \sin 3x$,
откуда $\sin 3x = -1$.
Решения этого уравнения имеют вид $3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.
Теперь найдем, сколько корней из этой серии попадает в промежуток $x \in (-0,5\pi; 2\pi]$, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Решим двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le 2\pi$.
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} < -\frac{1}{6} + \frac{2n}{3} \le 2$.
Прибавим $\frac{1}{6}$ ко всем частям:
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} < \frac{2n}{3} \le 2 + \frac{1}{6}$
$-\frac{2}{6} < \frac{2n}{3} \le \frac{13}{6}$
$-\frac{1}{3} < \frac{2n}{3} \le \frac{13}{6}$.
Умножим все части на $\frac{3}{2}$:
$-\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} < n \le \frac{13}{6} \cdot \frac{3}{2}$
$-\frac{1}{2} < n \le \frac{13}{4}$
$-0.5 < n \le 3.25$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n = 0, 1, 2, 3$.
Найдем соответствующие значения $x$ и проверим их на соответствие ОДЗ ($\cos x \neq 0$):
- при $n=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корень подходит.
- при $n=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi+4\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Этот корень является посторонним и не входит в решение.
- при $n=2$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi+8\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. $\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корень подходит.
- при $n=3$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. $\cos(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корень подходит.
Таким образом, на заданном промежутке есть 3 корня: $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$.

Ответ: 3 корня.