Номер 22.27, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

22.27. a) $\sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; 2\pi]$

б) $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[-\pi; \pi]$

в) $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $[-3\pi; 3\pi]$

г) $\operatorname{ctg} 4x = -1$, $[0; \pi]$

а) $ \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, на промежутке $ [0; 2\pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ 3x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 3x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Это общее решение можно представить в виде двух серий корней:
1) $ 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $
2) $ 3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; 2\pi] $.
Для первой серии $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} $:
$ 0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} \le 2\pi $
$ 0 \le \frac{1}{12} + \frac{2k}{3} \le 2 $
$ -\frac{1}{12} \le \frac{8k}{12} \le \frac{23}{12} $
$ -1 \le 8k \le 23 $
$ -0.125 \le k \le 2.875 $. Целые значения $ k $: 0, 1, 2.
При $ k=0: x = \frac{\pi}{12} $.
При $ k=1: x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi+8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $.
При $ k=2: x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi+16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} $.

Для второй серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} $:
$ 0 \le \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \le 2\pi $
$ 0 \le \frac{1}{4} + \frac{2k}{3} \le 2 $
$ -\frac{1}{4} \le \frac{2k}{3} \le \frac{7}{4} $
$ -3 \le 8k \le 21 $
$ -0.375 \le k \le 2.625 $. Целые значения $ k $: 0, 1, 2.
При $ k=0: x = \frac{\pi}{4} $.
При $ k=1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi+8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} $.
При $ k=2: x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi+16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12} $.

б) $ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, на промежутке $ [-\pi; \pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ 3x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-\pi; \pi] $.
Для серии $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:
$ -\pi \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi $
$ -1 \le \frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1 $
$ -1 - \frac{1}{18} \le \frac{12n}{18} \le 1 - \frac{1}{18} $
$ -\frac{19}{18} \le \frac{12n}{18} \le \frac{17}{18} $
$ -19 \le 12n \le 17 $
$ -1.58... \le n \le 1.41... $. Целые значения $ n $: -1, 0, 1.
При $ n=-1: x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi-12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18} $.
При $ n=0: x = \frac{\pi}{18} $.
При $ n=1: x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi+12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} $.

Для серии $ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $:
$ -\pi \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le \pi $
$ -1 \le -\frac{1}{18} + \frac{2n}{3} \le 1 $
$ -1 + \frac{1}{18} \le \frac{12n}{18} \le 1 + \frac{1}{18} $
$ -\frac{17}{18} \le \frac{12n}{18} \le \frac{19}{18} $
$ -17 \le 12n \le 19 $
$ -1.41... \le n \le 1.58... $. Целые значения $ n $: -1, 0, 1.
При $ n=-1: x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi-12\pi}{18} = -\frac{13\pi}{18} $.
При $ n=0: x = -\frac{\pi}{18} $.
При $ n=1: x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi+12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} $.

Ответ: $ -\frac{13\pi}{18}, -\frac{11\pi}{18}, -\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{13\pi}{18} $.

в) $ \text{tg}\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, на промежутке $ [-3\pi; 3\pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ \frac{x}{2} = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-3\pi; 3\pi] $.
$ -3\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi $
$ -3 \le \frac{1}{3} + 2n \le 3 $
$ -3 - \frac{1}{3} \le 2n \le 3 - \frac{1}{3} $
$ -\frac{10}{3} \le 2n \le \frac{8}{3} $
$ -\frac{10}{6} \le n \le \frac{8}{6} $
$ -1.66... \le n \le 1.33... $. Целые значения $ n $: -1, 0, 1.
При $ n=-1: x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} $.
При $ n=0: x = \frac{\pi}{3} $.
При $ n=1: x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} $.

г) $ \text{ctg}\,4x = -1 $, на промежутке $ [0; \pi] $

Сначала найдем общее решение уравнения.
$ 4x = \text{arcctg}(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [0; \pi] $.
$ 0 \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4} \le \pi $
$ 0 \le \frac{3}{16} + \frac{n}{4} \le 1 $
$ -\frac{3}{16} \le \frac{4n}{16} \le 1 - \frac{3}{16} $
$ -\frac{3}{16} \le \frac{4n}{16} \le \frac{13}{16} $
$ -3 \le 4n \le 13 $
$ -0.75 \le n \le 3.25 $. Целые значения $ n $: 0, 1, 2, 3.
При $ n=0: x = \frac{3\pi}{16} $.
При $ n=1: x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi+4\pi}{16} = \frac{7\pi}{16} $.
При $ n=2: x = \frac{3\pi}{16} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi+8\pi}{16} = \frac{11\pi}{16} $.
При $ n=3: x = \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi+12\pi}{16} = \frac{15\pi}{16} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{16}, \frac{7\pi}{16}, \frac{11\pi}{16}, \frac{15\pi}{16} $.