Номер 22.22, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.22. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $ \cos x = \frac{1}{2} $, $ x \in [1; 6] $;

б) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ x \in \left[-\frac{\pi}{4}; 12\right] $;

в) $ \cos x = -\frac{1}{2} $, $ x \in [2; 10] $;

г) $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ x \in \left[-4; \frac{5\pi}{4}\right] $.

а) Общее решение уравнения $cos x = \frac{1}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[1; 6]$ рассмотрим каждую серию решений, подставляя целые значения $k$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.
1. Серия $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1.05$. Так как $1 \le 1.05 \le 6$, этот корень подходит.
При $k \ge 1$, значения $x$ будут больше 6, а при $k \le -1$ – меньше 1.
2. Серия $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5.24$. Так как $1 \le 5.24 \le 6$, этот корень подходит.
При других целых значениях $k$ корни не попадают в заданный промежуток.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$.

б) Общее решение уравнения $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; 12]$ рассмотрим каждую серию решений. Приближенно, $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
1. Серия $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.07$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 13.35$, что больше 12.
2. Серия $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Корень является левой границей промежутка и подходит.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.5$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=3$, $x = -\frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{23\pi}{4} \approx 18.06$, что больше 12.
Таким образом, найдено пять корней.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}$.

в) Общее решение уравнения $cos x = -\frac{1}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[2; 10]$ рассмотрим каждую серию решений.
1. Серия $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. Этот корень входит в промежуток $[2; 10]$.
При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38$. Этот корень входит в промежуток $[2; 10]$.
При $k \ge 2$, значения $x$ будут больше 10.
2. Серия $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ :
При $k=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. Этот корень входит в промежуток $[2; 10]$.
При $k=2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47$, что больше 10.
При $k \le 0$, значения $x$ будут меньше 2.
Таким образом, найдено три корня.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$.

г) Общее решение уравнения $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ записывается в виде $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, что равносильно $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число.

Для нахождения корней на промежутке $[-4; \frac{5\pi}{4}]$ рассмотрим каждую серию решений. Приближенно, $\frac{5\pi}{4} \approx 3.927$.
1. Серия $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356$. Этот корень входит в промежуток $[-4; \frac{5\pi}{4}]$.
При $k=-1$, $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927$. Этот корень входит в промежуток $[-4; \frac{5\pi}{4}]$.
2. Серия $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ :
При $k=0$, $x = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$. Этот корень входит в промежуток $[-4; \frac{5\pi}{4}]$.
При $k=1$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень является правой границей промежутка и подходит.
Таким образом, найдено четыре корня.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$.