Номер 22.16, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.16. a) $\text{tg}^2 x - 3 = 0;$

б) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x = 0;$

В) $4 \text{tg}^2 x - 9 = 0;$

Г) $3 \text{tg}^2 x - 2 \text{tg} x = 0.$

а) Дано уравнение $tg^2 x - 3 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение относительно $tg x$. Перенесем свободный член в правую часть: $tg^2 x = 3$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получим два случая: $tg x = \sqrt{3}$ или $tg x = -\sqrt{3}$.
Найдем решения для каждого случая:
1. Для $tg x = \sqrt{3}$, серия решений имеет вид $x = arctg(\sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. Для $tg x = -\sqrt{3}$, серия решений имеет вид $x = arctg(-\sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну формулу.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $2tg^2 x + 3tg x = 0$.
Вынесем общий множитель $tg x$ за скобки: $tg x (2tg x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:
1. $tg x = 0$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(0) + \pi k$, то есть $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. $2tg x + 3 = 0$. Отсюда $2tg x = -3$, и $tg x = -\frac{3}{2}$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(-\frac{3}{2}) + \pi k$, что можно записать как $x = -arctg(\frac{3}{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Уравнение имеет две серии решений.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -arctg(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $4tg^2 x - 9 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение относительно $tg x$. Выразим $tg^2 x$: $4tg^2 x = 9$
$tg^2 x = \frac{9}{4}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получим два случая: $tg x = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ или $tg x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$.
Найдем решения для каждого случая:
1. Для $tg x = \frac{3}{2}$, серия решений имеет вид $x = arctg(\frac{3}{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. Для $tg x = -\frac{3}{2}$, серия решений имеет вид $x = arctg(-\frac{3}{2}) + \pi k$, что равносильно $x = -arctg(\frac{3}{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить.
Ответ: $x = \pm arctg(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $3tg^2 x - 2tg x = 0$.
Вынесем общий множитель $tg x$ за скобки: $tg x (3tg x - 2) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:
1. $tg x = 0$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(0) + \pi k$, то есть $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. $3tg x - 2 = 0$. Отсюда $3tg x = 2$, и $tg x = \frac{2}{3}$. Решением этого уравнения является серия $x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Уравнение имеет две серии решений.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.